문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
피적분함수가 |x−a|다. 절댓값은 부호를 모르면 못 벗긴다. 안의 식이 0이 되는 x=a를 경계로 [1, a]는 −(x−a)=−x+a, [a, 3]은 x−a로 쪼개면 절댓값이 사라진다. 절댓값 적분의 첫 수는 언제나 “어디서 0이 되나”다.
◀ 적분변수는 x, a는 상수 파라미터 — 이 둘을 절대 헷갈리지 마라
두 구간 적분을 더하면 f(a)=a²−4a+5. 여기서 멈추지 말고 (a−2)²+1로 완전제곱하면, 최댓값·최솟값이 그래프처럼 눈에 보인다. 정적분 결과를 파라미터 a의 함수로 다시 보는 순간, 문제가 이차함수 최대·최소 문제로 바뀐다.
◀ 적분이 끝나면 a의 함수로 갈아타는 게 이 문제의 관문
f(a)=(a−2)²+1은 아래로 볼록. 정의역이 닫힌구간 [1, 3]이므로 최소는 꼭짓점 a=2에서 m=1, 최대는 양 끝 a=1 또는 a=3에서 M=2. 아래로 볼록이면 최대는 반드시 끝점에서 나온다. 따라서 M−m=1.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 적분변수 x와 파라미터 a를 구분하는 게 전부다. |x−a|를 x=a 기준으로 쪼개 적분하면 f(a)는 a에 대한 이차식이 되고, 완전제곱 (a−2)²+1로 바꾸면 닫힌구간 [1, 3]에서의 최대·최소 문제로 정리된다.
실수 포인트 ① : 적분 안에서 a를 변수처럼 취급하는 실수. 적분할 땐 a는 상수, 변수는 x다. ∫(−x+a)dx에서 a는 그냥 상수 계수로 빠진다.
실수 포인트 ② : 구간 부호 판정을 뒤집는 실수. 1≤x≤a에서는 x−a≤0이라 |x−a|=−x+a, a≤x≤3에서는 x−a로 벗긴다.
실수 포인트 ③ : 최댓값을 꼭짓점에서 찾는 실수. 아래로 볼록이므로 꼭짓점은 최소(a=2), 최대는 끝점(a=1 또는 3)에서 나온다. M=2, m=1.
정답 : ① (M−m=1)