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'실수 전체에서 미분가능'은 이어붙인 경계 x=−1에서 연속(좌=우 함숫값)이면서 기울기도 일치(f'좌=f'우)하라는 뜻이다. 이 두 문장이 곧 a, b를 정하는 방정식 2개다.
◀ 미분가능 = 연속 + 미분계수 일치, 항상 두 조건
좌식 x2+bx에 x=−1 → 1−b, 우식 ax3+2x2−3에 x=−1 → −a−1. 1−b = −a−1 즉 a−b=−2 … ㉠. 미분계수는 f'(x)를 구해 3a−4=−2+b, 즉 3a−b=2 … ㉡. 연립 → a=2, b=4.
◀ 경계 대입 한 번이 방정식 하나를 만든다
구간별 함수는 절대 통으로 못 적분한다. ∫−22f = ∫−2−1(x2+4x)dx + ∫−12(2x3+2x2−3)dx = 5/6 = c. 따라서 abc = 2·4·(5/6) = 20/3.
◀ 이 문제의 출제 포인트
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : '실수 전체에서 미분가능'이라는 한 문장이 경계 x=−1에서 두 조건(연속·미분계수 일치)을 강제한다. 이 두 방정식으로 a=2, b=4를 확정하고, 정적분은 경계로 쪼개 각 구간의 식으로 따로 계산해 c=5/6을 얻는다. 마지막에 세 값을 곱해 abc를 답한다.
실수 포인트 ① : 미분가능인데 연속 조건만 쓰고 끝내는 실수. 미지수가 2개라 방정식 하나로는 부족하다. 미분계수도 좌=우로 같아야 두 번째 식이 나온다.
실수 포인트 ② : 정적분에서 구간별 함수를 무시하고 −2~2를 한 식으로 통째 적분하는 실수. 반드시 x=−1을 기준으로 쪼갠다. x<−1은 x2+4x, x≥−1은 2x3+2x2−3.
실수 포인트 ③ : abc를 물었는데 a, b만 구하고 c(=정적분값 5/6)를 곱하지 않는 실수. abc = 2×4×(5/6) = 20/3.
정답 : ② (abc = 20/3)