문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
구간 [α,β]를 중간점 0으로 쪼개면 C=A+B. 그리고 f(x)=−(x−α)(x−β)는 두 근 α,β 사이에서 f(x)≥0(위로 볼록·근 사이 양수)이라 A,B,C가 전부 양수. 양수 둘을 더한 C가 셋 중 최댓값이라는 게 즉시 보인다.
◀ 부호 안 바뀌는 구간을 0으로 쪼개면 C=A+B
[α,β]에서 f≥0이므로 A=∫α0는 왼쪽 조각 넓이, B=∫0β는 오른쪽 조각 넓이다. α,β 값을 몰라도 정적분 값 비교가 곧 면적 비교로 바뀌어 대소가 그림 한 장으로 결정된다.
◀ 부호 일정 구간의 ∫는 곧 면적이다
축의 방정식 x=(α+β)/2인데 조건 (나) α+β<0에서 축<0. 봉우리가 y축 왼쪽으로 치우쳐 있으니 왼쪽 조각 A가 오른쪽 조각 B보다 크다. 즉 A>B. 종합하면 C=A+B > A > B.
◀ 이 문제의 출제 포인트: 축이 왼쪽이면 A가 더 크다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 세 정적분을 직접 계산하지 말고 그래프의 넓이로 읽는다. f(x)=−(x−α)(x−β)는 위로 볼록(∩)이라 두 근 α,β 사이에서 f≥0. 중간점 0으로 쪼개면 C=A+B이고, 대칭축 (α+β)/2가 조건 (나)에 의해 음수라 봉우리가 왼쪽에 치우쳐 A>B. 따라서 C>A>B.
실수 포인트 ① : 앞의 −1 부호를 놓쳐 아래로 볼록(∪)으로 착각하는 실수. −(x−α)(x−β)는 위로 볼록이고 두 근 사이에서 양수다.
실수 포인트 ② : 축 (α+β)/2의 부호를 안 따지고 A=B로 두는 실수. 조건 (나) α+β<0이 축을 y축 왼쪽으로 밀어 A>B를 만든다 — (나)를 반드시 써야 대소가 갈린다.
실수 포인트 ③ : α,β 값이 없다고 당황해 적분값을 억지로 계산하려는 실수. 부호가 일정한 구간의 정적분은 넓이이므로 그림 한 장이 계산을 대신한다.
정답 : ③ (C>A>B)