문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
프라임(‘)이 붙은 식이 나오면 첫 동작은 부정적분이다. (가) {f+g}’=2x+2 → f+g=x²+2x+C₁, (나) {fg}’=6x²+4 → fg=2x³+4x+C₂. 적분상수는 f(1)=3, g(1)=2를 대입해 잡는다. 3+2=3+C₁ → C₁=2, 3×2=6+C₂ → C₂=0. 즉 f+g=x²+2x+2, fg=2x³+4x.
◀ 프라임 보이면 적분부터, 상수는 대입값으로 결정
fg=2x³+4x=2x(x²+2). 인수는 2x와 (x²+2). 그런데 f+g=x²+2x+2=(x²+2)+2x로, 두 인수의 합이 f+g와 정확히 일치한다. 곱과 합이 동시에 맞아떨어지면 f, g는 각각 x²+2와 2x로 확정된다.
◀ fg 인수 2개 = f와 g 후보, 합으로 검증
후보는 x²+2(2차)와 2x(1차). (다) limx→∞ f/g=∞이려면 분자 차수가 더 커야 하므로 f=x²+2, g=2x. ‘극한이 ∞로 발산’은 항상 ‘분자 차수>분모 차수’로 번역하라. 이 한 줄이 f와 g의 자리를 확정한다.
◀ 극한 ∞ = 차수 비교, f는 큰 쪽
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 프라임이 붙은 식 두 개가 보이면 곧바로 적분해 f+g와 fg를 확보하는 게 전부다. fg를 인수분해하면 인수 2개가 나오고, 그 합이 f+g와 맞는지만 확인하면 f, g가 통째로 결정된다. 마지막 (다)는 둘 중 누가 f인지 정하는 용도다.
실수 포인트 ① : 적분상수 C를 잊고 f+g=x²+2x, fg=2x³+4x로 끝내는 실수. 반드시 C를 세우고 f(1), g(1)로 잡아라. (여기선 우연히 C₂=0이지만 C₁=2는 살아있다)
실수 포인트 ② : fg 인수분해에서 계수 2를 빠뜨리는 실수. 2x³+4x=2x(x²+2)이지 x(x²+2)가 아니다. 계수 2를 놓치면 f+g와 안 맞는다.
실수 포인트 ③ : (다)를 무시하고 f=2x, g=x²+2로 거꾸로 잡는 실수. 그러면 lim f/g=0이 되어 조건 위배. 차수 큰 쪽이 분자(f)다.
정답 : ⑤ 7 (f(−1)+g(2) = (1+2)+4 = 3+4 = 7)