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fn(x)=∫(1/n)xndx에서 1/n은 상수라 적분 밖으로 빼고 ∫xndx=xn+1/(n+1)을 쓴다. 두 계수가 곱해져 1/{n(n+1)}·xn+1. 바로 이 1/{n(n+1)} 구조가 부분분수의 씨앗이다.
◀ 계수 두 개의 곱이 부분분수를 예고한다
fn(x)=xn+1/{n(n+1)}+C에 x=0을 넣으면 앞항이 0이므로 fn(0)=C=0. 따라서 fn(x)=xn+1/{n(n+1)}이고 fk(1)=1/{k(k+1)}. 적분상수는 조건 하나로 즉시 확정.
◀ 함숫값 조건으로 적분상수부터 잡는다
1/{k(k+1)}=1/k−1/(k+1)로 분해하면 (1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/10−1/11)처럼 가운데가 통째로 상쇄된다. 남는 건 1−1/11=10/11. '1/{연속한 두 수의 곱}' 합을 보면 반사적으로 부분분수를 떠올려라.
◀ 이 문제의 출제 포인트 — 부분분수 망원합
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : fn(x)=∫(1/n)xndx에서 상수 1/n을 밖으로 빼고 ∫xndx=xn+1/(n+1)을 쓰면 계수가 1/n·1/(n+1)=1/{n(n+1)} 꼴로 나온다. 이 곱 구조가 바로 부분분수의 씨앗이다. fn(0)=0에서 적분상수 C=0이므로 fn(x)=xn+1/{n(n+1)}, fk(1)=1/{k(k+1)}. 합 Σ1/{k(k+1)}은 1/k−1/(k+1)로 쪼개면 앞뒤가 상쇄되는 망원합이 되어 1−1/11=10/11이다.
실수 포인트 ① : 1/n을 적분변수처럼 취급해 함께 적분하는 실수. n은 상수이므로 반드시 밖으로 빼야 한다.
실수 포인트 ② : 부분분수로 쪼갤 때 1/{k(k+1)}=1/k−1/(k+1)의 부호나 분모를 헷갈리는 실수. 분모 차 B−A=1이라 계수가 깔끔하게 1이 된다.
실수 포인트 ③ : 망원합에서 살아남는 항을 잘못 세는 실수. 첫 항 1과 마지막 −1/11만 남으므로 1−1/11=10/11이다.
정답 : ⑤ (10/11)