문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
g(x)=∫{x2+f(x)}dx처럼 함수가 적분기호에 갇혀 있으면, 꺼내는 유일한 열쇠는 양변 미분이다. 미분하면 g′(x)=x2+f(x), 즉 f(x)=g′(x)−x2. 적분식은 '미분해서 벗겨낸다'가 첫 수다.
◀ 적분으로 정의된 함수는 미분이 시작점
f(x)=g′(x)−x2를 f(x)+g(x)=3x+5에 대입하면 f가 사라지고 g′(x)+g(x)=x2+3x+5. 미지함수가 둘이면 하나를 없애 한 문자만의 방정식으로 만드는 게 정석이다.
◀ 미지가 둘이면 하나를 소거해 한 문자로
미분은 차수를 올리지 않으므로 g′+g의 최고차(x2)가 곧 g의 최고차다. g(x)=ax2+bx+c로 놓고 계수비교하면 a=1, b=1, c=4. x−3으로 나눈 나머지는 나머지정리로 g(3)=9+3+4=16, 나눗셈은 금지.
◀ 이 문제의 출제 포인트 — 차수판정 + 나머지정리
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : g(x)=∫{x2+f(x)}dx처럼 적분기호에 함수가 갇혀 있으면 꺼내는 방법은 양변 미분 하나뿐이다. g′(x)=x2+f(x)에서 f(x)=g′(x)−x2를 얻어 f(x)+g(x)=3x+5에 대입하면 f가 소거되어 g′(x)+g(x)=x2+3x+5가 된다. 우변이 2차식이고 미분은 차수를 올리지 않으니 g는 2차식. g=ax2+bx+c로 놓고 계수비교하면 a=1, b=1, c=4다.
실수 포인트 ① : 적분식을 미분할 때 우변 전체가 g′(x)임을 놓치고 f만 따로 건드리는 실수. 양변 미분이 원칙이라 g′(x)=x2+f(x)가 맞다.
실수 포인트 ② : g의 차수를 3차나 1차로 넘겨짚는 실수. g′+g의 최고차항이 x2이므로 g는 반드시 2차식이다.
실수 포인트 ③ : 나머지를 실제 나눗셈으로 구하려다 계산이 꼬이는 경우. x−3으로 나눈 나머지는 나머지정리로 g(3)에 대입만 하면 9+3+4=16으로 끝난다.
정답 : 16