문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
0≤x≤4의 모든 x에서 1≤f(x)≤25가 성립할 조건은, 구간 안 f(x)의 최솟값≥1 그리고 최댓값≤25 딱 두 부등식뿐이다. 모든 x를 하나씩 검사하는 게 아니라, 가장 낮은 점이 1 위에, 가장 높은 점이 25 아래에 있으면 나머지는 자동으로 사이에 낀다. ‘항상’이라는 단어가 보이면 최댓값·최솟값부터 찾아라.
◀ 모든 x 검사 X, 최솟값과 최댓값 딱 두 점만
f(x)=x³−3x²+k, f'(x)=3x(x−2)라 극점 x=0, x=2. 닫힌구간 [0,4]에서는 후보가 극점과 끝점 x=0, 2, 4뿐. f(0)=k, f(2)=k−4, f(4)=k+16. 최솟값은 극솟점 f(2)=k−4, 최댓값은 오른쪽 끝 f(4)=k+16. k는 전 구간에 똑같이 붙어 다니는 상수라 대소를 가르는 건 −4와 +16뿐이니 이것만 신경 쓰면 된다.
◀ 후보는 극점 + 양끝점, k는 공통이라 무시 가능
최솟값 k−4≥1, 최댓값 k+16≤25 → k≥5, k≤9 → 5≤k≤9. 여기는 등호가 살아 있어 양끝 5와 9를 모두 포함한다. 정수는 5, 6, 7, 8, 9로 (9−5)+1=5개. 등호 없는 범위는 빼고(−1), 등호 있는 범위는 더한다(+1). 이 문제는 등호 포함이라 +1을 잊지 마라.
◀ 등호 있으면 (큰수−작은수)+1, 이 문제는 5개
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘항상 성립하는 부등식’은 구간 전체를 검사할 필요 없이 최솟값과 최댓값 두 점만 조건에 맞추면 된다. 닫힌구간 [0,4]에서 f(x)=x³−3x²+k의 후보는 극점(x=0, 2)과 끝점(x=4). 최솟값 f(2)=k−4≥1, 최댓값 f(4)=k+16≤25에서 5≤k≤9가 나오고, 등호를 포함하므로 정수는 (9−5)+1=5개다.
실수 포인트 ① : 모든 x를 대입해 확인하려다 시간을 날리는 실수. 최솟값·최댓값 두 점이면 충분하다.
실수 포인트 ② : 최솟값을 f(0)=k로 착각하는 실수. 극솟점 f(2)=k−4가 끝점보다 낮은 진짜 최솟값이다.
실수 포인트 ③ : 최댓값을 왼쪽이나 극점 근처로 착각하는 실수. 오른쪽 끝 f(4)=k+16이 최댓값이다.
실수 포인트 ④ : 정수 개수에서 +1을 빠뜨려 4개로 답하는 실수. 등호 포함 5≤k≤9는 9−5+1=5개다.
정답 : 5