문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(−1)=0이고 f′(−1)=0이라는 건 x=−1이 중근(접하는 근)이라는 신호다. 곧 인수 (x+1)²을 가진다는 뜻. x=3도 똑같이 (x−3)². 최고차항 계수가 1이니 미분·연립 없이 f(x)=(x+1)²(x−3)²로 통째로 인수분해가 끝난다.
◀ '근+접' 두 조건이 붙으면 그건 그냥 중근, 제곱 인수로 직행
두 극소가 모두 0으로 같으면 그래프는 좌우대칭 W. y=k를 아래에서 올리면 실근 개수가 2개→4개→극댓값에서 3개→그 위로 2개로 바뀐다. 3개가 되는 순간은 수평선이 가운데 봉우리(극대)에 접할 때뿐. 그래서 답은 극댓값 그 자체.
◀ 극소끼리 높이가 같으면 실근 3개는 무조건 극댓값에서 발생
극대의 위치는 두 극소(x=−1, x=3)의 한가운데인 x=1. 여기에 대입하면 f(1)=(1+1)²(1−3)²=4×4=16. 대칭 W 사차함수는 극댓값 한 개만 계산하면 문제가 끝난다. k=16.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f의 값과 도함수 값이 같은 점에서 동시에 0이면 그 점은 중근이다. f(−1)=f′(−1)=0, f(3)=f′(3)=0이므로 x=−1, x=3이 각각 중근 → f(x)=(x+1)²(x−3)². 두 극솟값이 0으로 같은 대칭 W이므로, f(x)=k의 실근이 3개가 되려면 수평선이 가운데 극대에 접해야 하고, 그 높이가 곧 정답 k다.
실수 포인트 ① : x=−1, x=3을 단순근으로 보고 f(x)=(x+1)(x−3)(…) 꼴로 세우는 실수. f′=0까지 만족하므로 반드시 제곱(중근)이다.
실수 포인트 ② : 실근 3개를 만드는 k를 0(극솟값)으로 착각하는 실수. k=0은 두 극소에 접해 실근 2개다. 3개는 극댓값 k=16.
실수 포인트 ③ : 극댓값을 구할 때 x=0이나 엉뚱한 점을 넣는 실수. 극대는 두 극소의 중점 x=1에서 나온다.
정답 : k = 16