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(1/3)x³−(1/2)x²+k=0을 −(1/3)x³+(1/2)x²=k로 정리한다. 좌변을 h(x)라 두면, 실근 개수 f(k)는 곡선 y=h(x)와 수평선 y=k의 교점 개수와 같다. 상수 k를 우변으로 몰아 수평선 하나로 만드는 게 실근 개수 문제의 1번 스킬.
◀ 상수는 우변으로 몰아 y=k 수평선으로 바꾼다
h(x)의 극솟값은 0, 극댓값은 1/6. 수평선 y=k가 이 두 높이를 지날 때마다 교점 수가 1↔2↔3으로 점프한다. 그래서 f(k)는 k=0, k=1/6에서 불연속인 계단함수다. 바로 이 두 불연속점이 문제의 급소다.
◀ 실근 개수 함수의 불연속점 = 극값 높이
f(x)가 x=0, x=1/6에서 끊긴다. 곱 f(x)g(x)가 실수 전체에서 연속이려면 그 두 점에서 g가 0으로 눌러줘야 한다 → g(0)=0, g(1/6)=0. 최고차항 1인 이차함수는 g(x)=x(x−1/6). f(2)=1(2>1/6), g(6)=6·(35/6)=35 → 답 36.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 함수의 곱 f(x)g(x)가 연속인 조건 문제다. 핵심은 f(k)의 정체를 먼저 밝히는 것. 상수 k를 분리해 −(1/3)x³+(1/2)x²=k로 만들면 f(k)는 곡선과 수평선의 교점 개수, 즉 극값 높이 k=0, k=1/6에서 값이 튀는 계단형 불연속함수다. 끊긴 점에서 이차함수가 0이 되어 눌러야 곱이 연속이 된다.
실수 포인트 ① : 증감표에서 극솟값과 극댓값 높이를 뒤집는 실수. h(x)=−(1/3)x³+(1/2)x²는 x=0에서 극솟값 0, x=1에서 극댓값 1/6이다. 높이가 뒤집히면 불연속점 k값이 통째로 틀어진다.
실수 포인트 ② : g(x)를 g(x)=(x−0)(x−1/6)로 세우고도 최고차항 계수 1 조건을 빠뜨려 상수배를 붙이는 실수. 계수 1이므로 정확히 g(x)=x(x−1/6)로 유일하게 결정된다.
실수 포인트 ③ : f(2)를 구할 때 k=2가 극댓값 1/6보다 크므로 교점은 1개, 즉 f(2)=1. 이를 놓치고 3 같은 값으로 착각하는 실수. g(6)=6(6−1/6)=35이므로 f(2)+g(6)=1+35=36.
정답 : 36