문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
h′(x)=f′(x)−g′(x)이고, 교점 x=a,b가 h′=0인 곳이다. x<a는 f′가 위(h′>0), a~b는 g′가 위(h′<0), x>b는 다시 f′가 위(h′>0). 부호가 + 0 − 0 +이므로 h는 x=a에서 극대, x=b에서 극소. 따라서 ㄱ 참.
◀ 도함수 그래프 뺄셈은 금지, 누가 위인지만 봐라
h(b)는 극솟값이다. h(b)=0이면 그래프가 x=b에서 x축에 살짝 닿았다 올라간다(중근). 극댓값 h(a)는 양수라 왼쪽에서 축을 한 번 통과한다. 결국 접점 1개 + 교차 1개 = 서로 다른 실근 2개. 따라서 ㄴ 참.
◀ 극값=0은 근이 하나가 아니라 ‘접점’이다
h(β)−h(α)<5(β−α) ⇔ [h(β)−h(α)]/(β−α)<5. 좌변은 평균값정리로 어떤 γ∈(α,β)에서의 h′(γ)다. 열린구간 (0,b)에서 h′는 x=0일 때 가장 크고 그 값이 h′(0)=f′(0)−g′(0)=7−2=5. 그래서 h′(γ)<5. 따라서 ㄷ 참.
◀ 평균변화율 부등식을 보면 반사적으로 MVT를 꺼내라
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 세 보기가 모두 h′(x)=f′(x)−g′(x)의 부호 하나로 풀린다. 도함수를 실제로 빼지 말고 그래프에서 누가 위에 있는지만 보면 h의 증감이 즉시 나온다. ㄷ만 평균값정리라는 한 스텝이 더 붙는다.
실수 포인트 ① : ㄱ에서 h′=0인 점을 무조건 극점으로만 보고 극대·극소를 뒤집는 실수. x=a 앞뒤로 h′가 +→−이므로 극대가 맞다.
실수 포인트 ② : ㄴ에서 h(b)=0을 근 1개로 세는 실수. 극값=0은 접점(중근)이라 왼쪽 교차 1개와 합쳐 서로 다른 실근은 2개.
실수 포인트 ③ : ㄷ에서 h′의 최댓값을 아무 데서나 잡는 실수. 구간 (0,b)에서 h′는 x=0에서 가장 크고 그 값이 f′(0)−g′(0)=5. 열린구간이라 등호 없이 h′(γ)<5.
정답 : ⑤ (ㄱ, ㄴ, ㄷ)