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조건 (가)에서 1≤x<2 구간이 f(2−x)다. 변수에 (2−x)가 들어간 꼴은 직선 x=1에 대한 대칭이동. 즉 g는 [0,2)에서 x=1을 축으로 좌우가 접힌 그래프다. 대칭축 x=1에서 매끄럽게(미분가능) 이어지려면 접선이 수평이어야 하므로 f′(1)=0.
◀ f(a−x) 보면 반사적으로 ‘직선 x=a/2 대칭’으로 읽어라
조건 (나)로 g는 주기 2인 주기함수. 주기함수가 실수 전체에서 미분가능하려면 주기 경계도 매끄러워야 한다. x=0의 우미분계수 f′(0)과 한 주기 뒤 x=2의 좌미분계수 −f′(0)이 같아야 하므로 f′(0)=−f′(0) → f′(0)=0. f′(0)=0, f′(1)=0 두 개가 f를 결정한다.
◀ 주기함수는 ‘경계’가 미분가능의 숨은 관문이다
g의 주기가 2이므로 g(6)=g(4)=g(2)=g(0), g(3)=g(1). 큰 x는 계산 말고 [0,2) 안으로 옮겨 f로 바꾼다. f(x)=x³−(3/2)x²+c에서 g(6)−g(3)=f(0)−f(1)=c−(1−3/2+c)=1/2. 따라서 q/p=1/2, p=2, q=1 → p+q=3.
◀ 주기함수 값은 항상 기본주기 안으로 이동시켜 대입
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 세 조건이 각각 f를 옥죄는 방정식이다. (가)의 대칭과 (다)의 미분가능이 만나 f′(1)=0, (나)의 주기와 (다)가 만나 f′(0)=0. 최고차항 1인 f(x)=x³+ax²+bx+c에서 f′(0)=b=0, f′(1)=3+2a=0으로 a, b가 잡히고, 상수 c는 g(6)−g(3)을 구할 때 서로 상쇄되어 사라진다.
실수 포인트 ① : f(2−x)를 x축·y축 대칭으로 오해하는 실수. 변수에 (a−x)가 들어가면 직선 x=a/2에 대한 대칭이다.
실수 포인트 ② : 미분가능을 이음매 x=1에서만 챙기고 주기 경계 x=0을 빠뜨리는 실수. 조건이 두 개라야 f가 하나로 정해진다.
실수 포인트 ③ : g(6), g(3)을 f에 직접 대입하려는 실수. g는 주기함수라 주기 안으로 옮긴 뒤 f로 바꿔야 하고, 상수 c는 빼면 소거된다.
정답 : 3 (p+q=3)