문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
(나)에서 x=1이 극소이므로 g'(1)=0. 이를 (가)의 g(1)=g'(1)에 넣으면 g(1)=0. 즉 |f(1)|=0이라 f(1)=0이고, x=1에서 매끈하니 f'(1)=0 → x=1은 f의 중근(접점)이다.
◀ 극소+미분가능+g(1)=g'(1) ⟹ x=1은 접점(중근)
(나)에서 극소가 x=−1, 0, 1 세 곳. |f|는 x축에 닿는 자리(f=0)에서 값 0인 극소가 생긴다. 따라서 x=−1, 0은 관통근, x=1은 접하는 중근. 최고차 계수 1로 복원하면 f(x)=x(x+1)(x−1)².
◀ |f|의 0인 극소 = f의 근(관통 또는 접점)
g(x)=|x(x+1)(x−1)²|. x=2 대입: g(2)=|2·3·1²|=6. 절댓값 안이 양수라 그대로 나온다. 어려운 조건들의 결론은 결국 ‘식 하나 세우기’였고, 세운 뒤 마지막은 산수다.
◀ g(2)=|2·3·1²|=6
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 추상적인 조건을 하나씩 ‘근과 접점’의 언어로 번역한다. ‘극소라서 g'(1)=0’과 ‘g(1)=g'(1)’을 묶으면 g(1)=0이 튀어나오고, 이게 x=1을 중근으로 못박는다. 나머지 극소 x=−1, 0은 관통근이므로 계수 1과 함께 f=x(x+1)(x−1)²로 복원된다.
실수 포인트 ① : g(1)=g'(1)만 보고 멈추는 실수. 극소라서 g'(1)=0을 먼저 써야 g(1)=0이 나온다.
실수 포인트 ② : x=1을 단순근으로 놓아 관통시키는 실수. 미분가능(접함)이므로 반드시 제곱(중근).
실수 포인트 ③ : g(2)에서 (x−1)²의 제곱을 빠뜨리거나 절댓값을 놓치는 실수.
정답 : ③ (g(2)=6)