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삼차함수와 수평선 y=p의 교점(=f(x)−p=0의 실근)이 딱 2개이려면 한 점에서 접하고(중근) 다른 한 점에서 만나야 한다. 즉 y=p가 극댓값 또는 극솟값을 지날 때만 실근이 2개. 삼차함수 ‘실근 개수 = 수평선 높이’ 문제는 항상 극값 높이를 기준선으로 삼아라.
◀ 실근 2개 신호 = 극값에서 접선처럼 만난다
접하는 p 값 중 더 높은 쪽이 극댓값, 낮은 쪽이 극솟값이다. 조건 (나)에서 최댓값이 f(2)이므로 x=2가 극대이고 중근. 조건 (가) f(2)=f(5)에서 나머지 교점은 x=5. 최고차항 1이므로 f(x)−p=(x−2)²(x−5). 여기에 f(0)=0을 넣어 p 확정: f(0)=4·(−5)+p=0 → p=20.
◀ ‘최댓값 p=극댓값’ → 그 x가 중근, 나머지 근은 (가)에서
f(x)=(x−2)²(x−5)+20을 미분하면 f′(x)=2(x−2)(x−5)+(x−2)²=(x−2)(3x−12)=3(x−2)(x−4). 공통인수 (x−2)로 묶으면 f′=0이 x=2, x=4로 즉시 나온다. 증감표상 x=4가 극소, 극솟값 f(4)=4·(−1)+20=16. 따라서 a=4, m=16, a+m=20.
◀ 이 문제의 출제 포인트: 접함→중근으로 식 세우고 극소 계산
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 조건 (나) ‘실근 2개’를 y=p가 극값에 접한다로 번역하는 게 핵심. p의 최댓값이 f(2)라는 말은 f(2)가 극댓값이고 x=2가 중근이라는 뜻이다. 조건 (가) f(2)=f(5)로 나머지 근 x=5를 얻어 f(x)−p=(x−2)²(x−5)로 식을 세우고, f(0)=0으로 p=20을 확정한 뒤 미분해 극솟값을 구한다.
실수 포인트 ① : ‘실근 2개’를 단순히 두 점 교차로만 생각하는 실수. 삼차함수에서 서로 다른 실근이 2개면 반드시 접점(중근)이 하나 껴 있어야 한다.
실수 포인트 ② : p의 최댓값이 극댓값에 대응함을 놓치고 x=2를 극소로 잡는 실수. ‘최댓값 p’이므로 더 높은 극값=극대, x=2가 극대·중근이다. 구하는 극소는 다른 점(x=4).
실수 포인트 ③ : f(0)=0으로 p를 확정하는 단계를 빠뜨리는 실수. f(0)=(−2)²(−5)+p=−20+p=0 → p=20. 그래야 f(4)=16, a+m=4+16=20.
정답 : ③ (a+m=4+16=20)