문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x)=x³+…의 최고차항 계수가 1(>0)이면 그래프는 왼쪽 아래→오른쪽 위로 흐르고, 산봉우리(극대)가 먼저, 골짜기(극소)가 나중이다. 즉 극대점 α가 극소점 β보다 항상 왼쪽 → α<β. f′=3x²+2ax+b가 아래로 볼록한 포물선이라 부호가 +→−→+, 극대는 +→−, 극소는 −→+에서 나온다. ㄱ은 참.
◀ 최고차항 부호가 극대·극소의 좌우 순서를 결정한다
ㄴ에서 f(α)=0인데 α가 극대점이면, 그래프가 x축을 뚫지 않고 살짝 닿았다 내려온다 = x=α가 중근. 그래서 f(x)=(x−α)²(x−k) (α<0<β<k)로 놓을 수 있다. c=f(0)=α²·(−k)이고 α²>0, k>0이라 c=−α²k<0. ㄴ은 참. 극값이 0이면 애매하게 그래프 그리지 말고 중근으로 식을 잡아라.
◀ 극값이 0 = 그 x가 중근, 그래프가 x축에 접한다
ㄷ의 ab 부호는 f′(x)=3x²+2ax+b=0의 두 근 α, β로 직결된다. α+β=−2a/3, αβ=b/3. α<0<β, |α|<|β|면 β쪽이 더 커서 α+β>0 → a<0. 또 α·β는 음수 → b<0. 따라서 ab>0인데 보기는 ab<0이라 했으니 ㄷ은 거짓. |α|<|β|는 ‘합의 부호’를 알려주는 힌트다.
◀ 이 문제의 출제 포인트: ab 물으면 근과 계수의 관계로 직행
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 세 보기 모두 f′(x)=3x²+2ax+b의 두 근 α(극대), β(극소)를 축으로 판단한다. ㄱ은 최고차항 부호(→α<β), ㄴ은 극댓값 0을 중근으로 번역해 (x−α)²(x−k)로 인수분해, ㄷ은 ab 부호를 근과 계수의 관계(합·곱)로 환원한다. 그래프를 정성적으로 그리기보다 식(인수분해·근과 계수)으로 밀어붙이는 게 실수를 줄인다.
실수 포인트 ① : ㄱ에서 α, β 순서를 헷갈리는 실수. 최고차항 +면 극대가 먼저(작은 x). 최고차항 −면 반대가 되니 계수 부호를 꼭 확인하라.
실수 포인트 ② : ㄴ에서 극댓값=0을 ‘단순히 한 점에서 0’으로만 보고 중근 처리를 놓치는 실수. 극값이 0이면 그 점은 반드시 중근(접점)이다.
실수 포인트 ③ : ㄷ에서 ab>0을 구해놓고도 보기 문장(ab<0)과 맞다고 착각하는 실수. 구한 부호를 ‘보기가 요구하는 부호’와 비교해 최종 판정하라. ab>0이므로 ㄷ은 거짓.
정답 : ② (ㄱ, ㄴ)