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x→∞에서 유리식 극한이 유한한 상수 3으로 수렴하니 분자 f(x)−x³과 분모 2x²은 같은 2차이고, 그 최고차항 비가 3이다. 즉 f(x)−x³의 최고차 계수 = 3×2 = 6. 따라서 f(x)−x³=6x²+ax+b → f(x)=x³+6x²+ax+b로 미지수를 단 2개로 압축한다.
◀ 극한값 = (분자 최고차계수)/(분모 최고차계수), 역산해 계수 확보
접한다는 건 x축(y=0)과 만나되 스치는 것 → f(1)=0(만남)과 f′(1)=0(기울기 일치)이 공짜로 생긴다. f(1)=1+6+a+b=0, f′(1)=3+12+a=0을 풀면 a=−15, b=8 → f(x)=x³+6x²−15x+8.
◀ '접한다'는 항상 f=0과 f′=0 두 식으로 번역
f′(x)=3x²+12x−15=3(x+5)(x−1). 접점 x=1은 극소이고 극대는 x=−5다. 극댓값 f(−5)=−125+150+75+8=108. 상수항 +8을 빠뜨리면 100이 나오는 게 대표 함정이다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : x→∞ 유리식 극한이 유한 상수면 '분자와 분모는 같은 차수, 극한값=최고차 계수의 비'라는 원리로 차수 분리를 한다. f(x)−x³=6x²+ax+b로 형태를 확정해 미지수를 2개로 줄인 뒤, 'x축 접선'을 f=0과 f′=0의 두 식으로 번역해 연립하면 끝난다.
실수 포인트 ① : (가)에서 최고차 계수를 6이 아닌 3으로 잘못 잡는 실수. 분모가 2x²이므로 극한값 3에 2를 곱한 6이 계수다.
실수 포인트 ② : '접한다'를 f(1)=0 한 식으로만 처리하는 실수. 접선은 반드시 f′(1)=0까지 짝으로 온다(중근 조건).
실수 포인트 ③ : 극댓값 계산에서 상수항 +8을 누락해 100으로 답하는 실수. 정답은 108이다.
정답 : 108