문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
절댓값이 든 함수는 꺾이는 점 x=2a를 경계로 x≥2a, x<2a 두 경우로 나눈다. x≥2a면 |x−2a|=x−2a, x<2a면 |x−2a|=−(x−2a)=−x+2a. 각 구간에서 절댓값을 벗겨낸 뒤 따로 미분해 증가·감소를 조사하라.
◀ 절댓값 함수는 꺾인점을 경계로 구간을 갈라라
x≥2a에서 f'(x)=3x²+12x+15, 판별식 D/4=36−45<0이라 실근이 없어 늘 양수, 즉 이쪽은 무조건 증가다. 반면 x<2a에서 f'(x)=3x²+12x−15=3(x+5)(x−1)은 −5<x<1에서 음수(감소)다. 이 감소구간 처리가 전부다.
◀ 두 조각 중 ‘문제 되는 조각’만 집중 공략하라
x<2a에서 항상 증가하려면 감소가 일어나는 구간이 실제 정의역 x<2a 안에 들어오면 안 된다. f'(x)=0의 왼쪽 근 x=−5보다 경계 2a가 더 왼쪽(또는 같음)에 있어야 감소부가 통째로 잘려나간다. 즉 2a≤−5 → a≤−5/2. 최댓값은 −5/2.
◀ 감소구간을 없애는 경계조건 = 경계값을 극점 밖으로
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 절댓값이 든 함수의 증가 판정은 꺾인점 x=2a를 경계로 두 조각으로 나눠 각각 미분하는 게 정석이다. x≥2a 조각은 판별식이 음수라 저절로 증가하니 신경 쓸 것 없고, 진짜 승부처는 x<2a 조각이다. 여기서 f'(x)=3(x+5)(x−1)의 감소구간 −5<x<1이 실제 정의역 x<2a 안에 들어오지 않도록 경계 2a를 감소 시작점 x=−5의 왼쪽으로 밀어내면 된다.
실수 포인트 ① : 조각을 나눌 때 |x−2a|의 부호를 반대로 벗기는 실수. x<2a면 x−2a<0이므로 |x−2a|=−(x−2a)=−x+2a다.
실수 포인트 ② : x<2a 조각에서 극점 x=−5, x=1을 구하고도 ‘2a가 어느 쪽에 있어야 하는지’ 방향을 놓치는 실수. 감소부(빨간 부분)가 통째로 잘려나가려면 경계가 −5의 왼쪽이어야 하므로 2a≤−5이지 2a≥1이 아니다.
실수 포인트 ③ : 2a≤−5를 a로 풀 때 2로 나누는 걸 잊고 a≤−5로 답하는 실수. a≤−5/2가 맞고 최댓값은 −5/2다.
정답 : ① −5/2