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분수꼴 극한 limx→∞ f(x)/x³이 0도 ∞도 아닌 유한값 1/3이면, 분자 f(x)의 최고차항이 딱 x³이고 그 계수가 1/3이라는 뜻이다. 즉 f(x)=(1/3)x³+… 꼴 삼차함수로 골격이 확정된다. 극한값이 곧 분자·분모 최고차항의 계수비다.
◀ x→∞ 극한값 = 분자·분모 최고차항 계수의 비
limx→2 f(x)/(x−2)²이 2(유한)라면 분자가 x=2에서 (x−2)²만큼 0이 되어야 한다. 그래서 f(x)=(1/3)(x−2)²(x−a). 약분하면 (1/3)(x−a)이고 x→2에서 (1/3)(2−a)=2 → a=−4. 따라서 f(x)=(1/3)(x−2)²(x+4)로 완전히 결정된다.
◀ 유한 극한 = 분모 인수가 분자에도 똑같이 들어있다
f'(x)=x²−4이므로 f'(−1)=−3, f(−1)=9. 접선은 y=−3x+6이고 x절편 2, y절편 6. 접선과 x축·y축으로 둘러싸인 도형은 직각삼각형이라 넓이=½×|x절편|×|y절편|=½×2×6=6. 적분 없이 절편 두 개면 끝난다.
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 극한 조건이 각각 f(x)의 '골격'과 '인수'를 지정한다. (가)는 최고차항 계수 1/3인 삼차함수임을, (나)는 (x−2)²를 인수로 가진다는 것을 알려주므로 f(x)=(1/3)(x−2)²(x−a)로 세운 뒤 약분 극한으로 a=−4를 확정한다. 함수가 정해지면 f'(−1)=−3, f(−1)=9로 접선 y=−3x+6을 얻고, 두 축과의 절편으로 삼각형 넓이를 즉시 계산한다.
실수 포인트 ① : (나)의 극한이 유한하다는 조건을 놓치고 f(x)에 (x−2)를 한 번만 인수로 넣는 실수. 분모가 (x−2)²이므로 분자도 (x−2)²을 가져야 극한이 유한하다.
실수 포인트 ② : f(−1) 계산에서 (−1−2)²(−1+4)=9×3=27을 그대로 쓰고 1/3 곱하기를 잊는 실수. f(−1)=(1/3)×9×3=9다.
실수 포인트 ③ : 넓이를 구할 때 절편의 값을 잘못 읽는 실수. y=−3x+6의 x절편은 2, y절편은 6이고 넓이는 ½×2×6=6이다.
정답 : 6