문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
ㄱ의 f(a)/a, f(b)/b는 각각 원점 O와 A(a, f(a)), B(b, f(b))를 잇는 직선의 기울기다. 그래프에서 O에서 뻗는 직선은 b쪽이 더 가파르므로 f(a)/a < f(b)/b. 따라서 'f(a)/a > f(b)/b'는 거짓. 분수 f(점)/점을 보면 무조건 원점 직선 기울기로 번역하라.
◀ f(x)/x = 원점에서 그은 직선의 기울기
ㄴ의 f(b)−f(a)>b−a는 양변을 b−a(>0)로 나누면 (f(b)−f(a))/(b−a)>1이다. 좌변은 A·B를 잇는 할선의 기울기, 우변 1은 y=x의 기울기. 그래프에서 할선이 y=x보다 가파르므로 참. b−a>0이라 부등호 방향은 그대로 유지된다.
◀ 부등식은 '할선 기울기 vs 1' 문제로 바꿔라
이 그래프는 아래로 볼록이라 x가 커질수록 접선이 가팔라진다. 그래서 ㄷ f′(a)<f′(b)는 참. ㄹ은 산술·기하평균으로 (a+b)/2>√(ab)를 먼저 세운 뒤, f′ 증가성으로 f′((a+b)/2)>f′(√(ab))를 참으로 확정. 크기 비교 → f′ 증가 → 부등호 이전, 이 3단 콤보가 핵심.
◀ 위치 대소를 먼저, 그다음 f′ 증가성으로 넘겨라
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 네 보기는 전부 '어떤 기울기'냐를 묻는다. f(점)/점은 원점 직선 기울기, f(b)−f(a) 꼴은 두 점 할선 기울기, f′은 접선 기울기다. 세 종류의 기울기로 번역만 하면 그래프에서 눈으로 대소가 보인다. 특히 이 그래프가 아래로 볼록이라는 사실이 접선 기울기의 증가성을 보장한다.
실수 포인트 ① : ㄱ에서 f(a)/a, f(b)/b를 함숫값 크기로 착각하는 실수. 이건 함숫값이 아니라 원점 직선의 기울기다.
실수 포인트 ② : ㄴ에서 (f(b)−f(a))/(b−a)>1을 얻고도 b−a를 곱할 때 부등호를 뒤집는 실수. b−a>0이라 방향은 그대로다.
실수 포인트 ③ : ㄹ에서 (a+b)/2와 √(ab)의 대소를 거꾸로 잡는 실수. 산술평균 ≥ 기하평균, 즉 (a+b)/2 > √(ab)다. f′가 증가하므로 큰 쪽 f′가 더 크다.
정답 : ④ (ㄴ, ㄷ, ㄹ)