문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
g(x)=(f(x)−f(1))/(x−1)은 항상 고정점 (1, f(1))=(1, 1)과 움직이는 점 (x, f(x))를 잇는 할선의 기울기다. 그래서 g(4), g(5) 비교는 두 할선의 기울기 비교. g(4)=(4−1)/3=1, g(5)=(9−1)/4=2 → g(4)<g(5) 참. g를 '기울기'로 읽는 순간 그림이 보인다.
◀ 평균변화율함수 = (1, f(1)) 기준 할선의 기울기
g(x)=0이면 분자 f(x)−f(1)=0, 즉 f(x)=f(1)=1. (x−2)²=1 → x²−4x+3=0 → (x−1)(x−3)=0 → x=1 또는 3. 그런데 정의역이 1<x≤5라 x=1은 제외, x=3 하나뿐이다. 따라서 'x값 2개'는 거짓. 방정식 풀고 정의역으로 거르는 마지막 한 컷을 놓치지 마라.
◀ 답 개수 문제는 정의역에서 최종 필터링
g(3)=(f(3)−f(1))/(3−1)=(1−1)/2=0 (평균변화율=할선). f′(3)은 x=3 접선 기울기(순간변화율)로 f′(x)=2(x−2), f′(3)=2>0. 0<2라 g(3)<f′(3) 참. 평균변화율과 순간변화율이 한 보기에 같이 나오면 '할선 vs 접선' 기울기 싸움으로 보라.
◀ g=할선, f′=접선, 둘의 기울기를 비교하라
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : g(x)는 겉모습만 복잡한 분수지, 실체는 고정점 (1, 1)에서 그은 할선의 기울기다. 이 한 줄 번역이면 ㄱ(할선 기울기 비교), ㄴ(할선 기울기가 0 = 같은 높이), ㄷ(할선 vs 접선)이 전부 기울기 언어로 통일된다.
실수 포인트 ① : ㄴ에서 (x−1)(x−3)=0의 두 근 x=1, 3을 모두 세는 실수. 정의역 1<x≤5에서 x=1은 정의역 밖이라 제외, 답은 x=3 하나다.
실수 포인트 ② : g(3)을 f(3)−f(1)만 계산하고 (3−1)로 나누는 걸 잊는 실수. 평균변화율은 반드시 x증가분으로 나눈다.
실수 포인트 ③ : ㄷ에서 f′(3)을 접선이 아니라 평균변화율로 계산하는 실수. f′은 순간변화율(접선 기울기)이다.
정답 : ③ (ㄱ, ㄷ)