문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
(x−1)g(x)=|f(x)|는 모든 x에서 성립하는 항등식이다. x=1을 넣으면 0=|f(1)| → f(1)=0. g(3)=0이니 x=3을 넣으면 2g(3)=|f(3)|=0 → f(3)=0. 항등식은 값을 대입해 미지 인수를 캐내는 도구다. 최고차 1 삼차이므로 f(x)=(x−1)(x−3)(x−k).
◀ 항등식 대입으로 f(1)=0, f(3)=0 확보
g(x)=|f(x)|/(x−1)이 x=1에서 연속(극한 존재)하려면, 분자 절댓값이 x=1을 지나며 부호가 뒤집히면 안 된다. |x−1|/(x−1)은 좌 −1, 우 +1로 점프하므로 이를 상쇄하려면 f가 (x−1)²을 인수로 가져야 한다. 즉 x=1은 단순근이 아니라 이중근. 따라서 k=1.
◀ 절댓값 유리극한 존재 → 분모 인수는 분자에서 짝수 겹(중근)
k=1이므로 f(x)=(x−1)²(x−3). 물어본 건 f(4)뿐이니 대입만 하면 된다. f(4)=(4−1)²(4−3)=9×1=9. 인수분해 형태를 끝까지 유지하면 큰 수 전개 없이 곱셈 한 번으로 끝난다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (x−1)g(x)=|f(x)|를 항등식으로 보고 x=1, x=3을 대입해 f(1)=0, f(3)=0을 뽑아낸다. 최고차 1인 삼차이므로 남은 인수는 (x−k) 하나. 마지막 미지수 k는 ‘g가 x=1에서 연속’이라는 조건, 즉 |f(x)|/(x−1)의 극한이 존재한다는 조건에서 나온다. 절댓값 유리식의 극한 존재는 분모 인수가 분자에서 짝수 겹으로 들어갈 때만 성립하므로 (x−1)²이 필요하고 k=1이 된다.
실수 포인트 ① : g(3)=0을 f(3)=0으로 바로 못 바꾸는 실수. x=3 대입 시 (3−1)g(3)=2·0=0=|f(3)|이므로 f(3)=0이다.
실수 포인트 ② : k를 좌·우극한 등식 −|−2(1−k)|=|−2(1−k)|에서 잘못 처리하는 실수. 양변 부호가 반대라 |−2(1−k)|=0, 즉 1−k=0 → k=1일 때만 성립한다. (‘극한 존재 → (x−1)² 인수’로 외워두면 즉시 k=1.)
실수 포인트 ③ : f(4)를 전개하다 계산 실수하는 경우. (x−1)²(x−3) 형태 그대로 f(4)=9×1=9로 끝내라.
정답 : ① (f(4)=9)