문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(−x)는 f(x) 정의에서 x를 −x로 바꾼 것. x≤−1 조건은 −x≤−1, 즉 x≥1로 뒤집힌다. 이렇게 정리하면 f(−x)={1(x≤−1), x(−1<x<1), −1(x≥1)}. 부등호 뒤집기를 빼먹으면 그래프가 통째로 틀어진다.
◀ −x 대입 시 정의역 부등호도 반대로 뒤집힌다
구간별로 더해보자. x≤−1: (−1)+1=0, −1<x<1: (−x)+x=0, x≥1: 1+(−1)=0. 모든 구간에서 f(x)+f(−x)=0! 불연속 함수 두 개를 더했는데 점프가 정확히 상쇄돼 상수함수 0이 나온다. 이게 이 문제의 정체다.
◀ 대칭 합 f(x)+f(−x)는 점프가 상쇄되기 쉽다
정체가 상수함수 0이므로 어디서든 극한=함숫값=0. ㄱ) limx→1+=0 [참], ㄴ) x=1에서 연속 [참], ㄷ) 실수 전체에서 연속 [참]. f가 ±1에서 불연속이라는 사실은 함정일 뿐, 합쳐진 함수의 정체를 먼저 파악하면 세 개 다 참(⑤)임이 순식간에 보인다.
◀ 합친 함수의 정체부터 파악하면 보기가 산수로 바뀐다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f(x)+f(−x) 꼴은 항상 ‘합쳐진 함수의 정체’부터 구하는 게 정석. f(−x)를 부등호 뒤집어 정리한 뒤 구간별로 더하면 전 구간에서 0, 즉 상수함수가 된다. 상수함수는 모든 점에서 연속이므로 ㄱㄴㄷ 판단이 순식간에 끝난다.
실수 포인트 ① : f(−x)를 만들 때 값만 −x로 바꾸고 정의역 부등호는 그대로 두는 실수. x≤−1은 −x≤−1 → x≥1로 반드시 뒤집어야 한다.
실수 포인트 ② : 개별 f(x)가 x=±1에서 불연속이니 f(x)+f(−x)도 불연속일 거라 넘겨짚는 실수. 점프가 상쇄되어 상수 0이 된다는 걸 확인하지 않으면 ㄴ·ㄷ을 거짓으로 오판한다.
실수 포인트 ③ : ㄱ에서 x→1+ 방향만 신경 쓰다 정작 함수가 상수 0임을 놓치는 실수. 상수함수는 어느 방향 극한이든 0이다.
정답 : ⑤ (ㄱ, ㄴ, ㄷ)