문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
합차곱 꼴 {f(x)+3}{f(x)−3}은 곧바로 f(x)²−9다. 두 인수를 따로 극한 잡지 말고 하나의 f²−9로 압축하면 계산이 절반으로 준다. 연속 여부는 결국 f(x)²이 x=0에서 연속인가로 귀결된다.
◀ 합·차·곱 꼴은 전개해서 f²으로 묶어라
x→0−일 때 f→a, x→0+일 때 f→−a로 좌우 극한이 다르다(f는 불연속). 그런데 제곱하면 좌극한 a²=(−a)²=우극한! f²의 극한은 a²−9로 좌우가 일치한다. 이게 급소 — 부호만 갈린 점프는 제곱이 지워버린다.
◀ 좌극한 a, 우극한 −a면 제곱해서 같아진다
연속 = (극한값)=(함숫값). 극한은 a²−9. 함숫값 g(0)={f(0)+3}{f(0)−3}인데 f(0)=5(주어진 특수값)이므로 8×2=16. 따라서 a²−9=16 → a²=25 → 양수 a=5. 좌우극한만 맞추고 함숫값을 빼먹으면 틀린다.
◀ 함숫값은 x=0의 정의값 f(0)=5로 계산한다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : {f+3}{f−3}=f²−9로 전개하는 순간 문제가 단순해진다. 핵심은 f 자체는 x=0에서 점프하지만(좌극한 a, 우극한 −a) 제곱하면 두 극한이 a²으로 같아져 f²−9의 극한이 존재한다는 것. 남은 일은 이 극한값을 함숫값 g(0)=16과 같게 놓는 것뿐이다.
실수 포인트 ① : f가 불연속이니 g도 당연히 불연속이라 지레짐작하는 실수. 제곱 덕분에 좌우극한이 같아진다는 걸 놓치면 문제를 시작도 못 한다.
실수 포인트 ② : 함숫값 g(0)을 극한값 a²−9로 착각하는 실수. g(0)은 정의된 특수값 f(0)=5로 계산해 8×2=16이 되어야 한다. 좌우극한(a²−9)과 함숫값(16)은 별개다.
실수 포인트 ③ : a²=25에서 a=±5 둘 다 답하는 실수. 문제는 양수 a를 요구했으므로 a=5만 정답.
정답 : a=5