문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
두 그래프 문제는 x=0, x=2에서 f와 g 각각의 좌극한·우극한·함숫값을 표로 채우는 게 먼저다. 그 다음 합은 더하고, 곱은 곱하고, 몫은 나눈다. ㄱ의 x=2: f는 좌2·우−2·값−2, g는 좌−2·우2·값2 → f+g는 좌우와 값 모두 0으로 연속. 표만 있으면 조합은 산수다.
◀ 두 함수의 좌·우·함숫값을 3칸 표로 채우면 모든 보기가 산수
ㄴ의 f(x)g(x)는 x=0에서 연속. g는 x=0에서 좌2·우−2로 점프하지만 lim f(x)=0이라 곱의 좌·우극한이 0×2=0, 0×(−2)=0으로 모두 0. 함숫값도 f(0)g(0)=2×0=0. 세 값이 전부 0이라 연속이다. 곱에서 한쪽이 0이면 상대의 점프가 눌린다.
◀ 0 곱하기 유한 = 0, 곱은 상대의 불연속을 감출 수 있다
ㄷ의 f(g(x))는 x=−2에서 극한이 좌우 모두 f(0−·0+)=0인데 함숫값은 f(g(−2))=f(0)=2. 극한≠함숫값이라 불연속(거짓). ㄹ의 g/f는 x=2에서 분모 f(2)=−2≠0이라 정의되고, 좌−2/2·우2/−2·값2/−2가 모두 −1이라 연속. 합성은 함숫값을, 몫은 분모≠0을 꼭 확인.
◀ 합성은 f(g(a)) 함숫값을, 몫은 분모 0 여부를 반드시 검문
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f, g 두 그래프의 불연속점(x=0, x=2, 그리고 합성에서 g가 만드는 x=−2)에서 좌극한·우극한·함숫값을 표로 정리하면 ㄱ(합)·ㄴ(곱)·ㄷ(합성)·ㄹ(몫)이 모두 조합 산수로 바뀐다. 특히 곱은 0이 불연속을 덮을 수 있고(ㄴ), 합성은 함숫값이 극한과 어긋날 수 있으며(ㄷ), 몫은 분모가 0이 아닌지부터 검문(ㄹ)해야 한다.
실수 포인트 ① : ㄷ에서 좌·우극한이 둘 다 0이라 연속이라 판단하는 실수. 합성은 함숫값 f(g(−2))=f(0)=2까지 봐야 하고, 극한 0과 달라 불연속이다.
실수 포인트 ② : ㄴ에서 g가 x=0에서 불연속이니 곱도 불연속이라 성급히 판단하는 실수. lim f(x)=0이 g의 점프를 0으로 눌러 연속이 된다.
실수 포인트 ③ : ㄹ에서 분모 f가 x=2에서 0인지 확인하지 않는 실수. f(2)=−2≠0이라 몫이 정의되고, 좌·우·함숫값이 모두 −1이라 연속이다.
정답 : 3 (옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ)