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f, g 모두 |x|≥1이면 상수, |x|<1이면 다항식이다. 경계는 x=1, x=−1. 그래프를 그리면 x=1에서 좌극한은 안쪽 다항식값, 우극한은 바깥 상수값이 된다. f는 x=1에서 좌극한 −1(−x²), 우극한 2(상수). g는 좌극한 1(x³), 우극한 −2(상수). 이 네 값을 먼저 적어두면 세 보기가 산수로 바뀐다.
◀ 조각함수는 경계에서 안쪽식↔바깥상수로 좌·우극한이 갈린다
ㄴ은 g(x−1)이 x=2에서 연속인지 묻는다. x−1=t로 치환하면 x=2일 때 t=1이므로, g(t)가 t=1에서 연속인지와 같은 질문이다. g는 t=1에서 좌극한 1, 우극한 −2로 값이 튀어 불연속. 따라서 g(x−1)도 x=2에서 불연속이다. 평행이동은 불연속점을 없애지 못하고 그대로 옮길 뿐이다.
◀ f(x−a)의 x=b 연속은 f(t)의 t=b−a 연속과 완전히 같다
ㄷ의 f(x)g(x+1)은 x=0에서 연속. x=0 근처에서 f(x)=−x²이라 f(0)=0. g(x+1)은 s=x+1 치환 시 s→1로 가 좌극한 1·우극한 −2로 불연속이지만, 곱의 좌·우극한이 모두 0×(유한)=0이고 함숫값 f(0)g(1)=0×(−2)=0. 세 값이 전부 0이라 연속이다.
◀ 0 곱하기 유한값 = 0, 곱은 한쪽 불연속을 감출 수 있다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 세 보기 모두 절댓값 조건부 함수의 경계 x=±1에서 좌극한·우극한을 정확히 읽는 게 뿌리다. 먼저 f, g의 그래프를 그려 x=1에서의 좌우극한(f: 좌−1·우2, g: 좌1·우−2)을 메모하면, ㄱ(합의 극한)·ㄴ(평행이동)·ㄷ(곱)은 모두 치환과 극한의 사칙연산으로 분해된다.
실수 포인트 ① : ㄱ에서 좌극한만 보고 판단하는 실수. 좌극한 (−1)+1=0과 우극한 2+(−2)=0이 둘 다 0이어야 극한이 존재한다. 한쪽만 확인하면 안 된다.
실수 포인트 ② : ㄴ에서 평행이동 방향을 헷갈려 엉뚱한 점을 보는 실수. x=2에서 x−1=t=1이므로 g의 x=1을 조사해야 한다.
실수 포인트 ③ : ㄷ에서 g(x+1)이 불연속이니 곱도 당연히 불연속이라 성급히 판단하는 실수. f(0)=0이 불연속을 0으로 눌러 곱은 연속이 된다.
정답 : ④ (ㄱ, ㄷ)