문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
연속의 정의는 딱 하나, limx→0 g(x)/x = f(0) = 3. g(x)/x의 x→0 극한을 구해서 3이 나오면 참, 아니면 거짓이다. 세 보기 모두 이 한 줄로 판정한다. 괜히 복잡하게 보지 말고 ‘극한이 3인가?’만 물어라.
◀ 연속 = (극한값)=(함수값), 이 등식 하나가 전부다
|x²−3x|=|x||x−3|, |x|(x+3) 모두 x=0에서 |x|가 부호를 바꾼다. x<0이면 |x|=−x, x>0이면 |x|=x. x=0 좌·우에서 절댓값이 다른 식으로 벗겨지니, 좌극한과 우극한을 반드시 따로 계산해야 한다.
◀ |x|는 x=0을 경계로 −x와 +x로 갈라진다
ㄴ·ㄷ은 좌극한 −3, 우극한 +3으로 갈려 극한이 존재하지 않는다(불연속). 반면 ㄱ은 g(x)=x(x+3)이라 절댓값이 없어 x(x+3)/x=x+3→3으로 깔끔히 연속. 절댓값 있는 보기는 x로 나눌 때 부호가 뒤집힌다.
◀ 절댓값·x가 얽히면 x=0에서 부호가 뒤집혀 좌우가 어긋난다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 연속 조건은 limx→0 g(x)/x = 3 단 하나다. 각 g에 대해 g(x)/x를 약분한 뒤 x→0 극한만 확인하면 된다. 절댓값 없는 ㄱ은 x(x+3)/x=x+3→3으로 즉시 참. 절댓값 있는 ㄴ·ㄷ은 x=0 좌우에서 |x|=∓x로 갈라지므로 좌극한·우극한을 따로 구해야 한다.
실수 포인트 ① : |x²−3x|를 무조건 x²−3x로 벗기는 실수. 절댓값은 안쪽 부호에 따라 갈린다. x=0 부근 좌(x<0)와 우(0<x<3)에서 x²−3x의 부호가 서로 다르다.
실수 포인트 ② : 좌극한 −3, 우극한 3인데 겉모습만 보고 참으로 착각하는 실수. 극한 존재 = 좌극한=우극한이 먼저다. 좌우가 다르면 극한 자체가 없어 불연속.
실수 포인트 ③ : ㄷ의 |x|(x+3)를 x=0에서 연속인 함수라 눈대중하는 실수. x로 나누는 순간 |x|/x가 부호를 뒤집어 좌 −3, 우 +3으로 갈린다.
정답 : ① (ㄱ)