문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
lim(f(x)+2)/(x−1)²=7에서 분모는 0으로, 극한은 유한값 7로 간다. 그러려면 분자 f(x)+2가 (x−1)²로 나누어떨어져야 한다. f는 삼차이므로 f(x)+2=(x−1)²(ax+b) 꼴로 놓는 게 정석. ‘분자→0’만 쓰면 f(1)=−2 하나밖에 못 얻지만, 중근이면 인수를 통째로 심어야 한다.
◀ 분모의 중근 차수만큼 분자도 같은 인수를 품는다
f(x)+2=(x−1)²(ax+b)를 넣으면 (x−1)²이 약분되어 lim(ax+b)=a+b=7. 극한값 자체가 하나의 방정식이 된다. ‘분자→0’은 인수를 찾는 데 쓰고, ‘극한값=7’은 계수를 묶는 데 쓴다. 두 정보를 분리해서 각각 방정식으로 번역하라.
◀ 극한값은 버리는 정보가 아니라 또 하나의 방정식이다
f(x)=(x−1)²(ax+b)−2. f(0)=(−1)²·b−2=b−2=2 → b=4, a+b=7이므로 a=3. f(x)=(x−1)²(3x+4)−2, f(3)=2²×13−2=50. f(0)=2가 f(x)+2 형태 때문에 헷갈리기 쉬우니, 최종식 f(x)에 직접 0을 넣어 검산하라.
◀ 조건은 최종식 f(x)에 대입해 확인하는 습관
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 분모가 (x−1)²이라는 중근이 핵심이다. 극한이 유한하려면 분자 f(x)+2가 (x−1)²을 통째로 인수로 가져야 하므로 f(x)+2=(x−1)²(ax+b)로 놓는다. 약분 뒤 남는 일차식에 x=1을 넣은 값이 극한값 7이고, 마지막으로 f(0)=2로 상수를 확정하면 삼차함수가 완성된다.
실수 포인트 ① : ‘분자→0’에서 얻은 f(1)=−2만으로 만족하고 멈추는 실수. (x−1)²(중근)이므로 인수를 두 번 품어야 하고, 그래서 f(x)+2=(x−1)²(ax+b)로 세워야 한다.
실수 포인트 ② : f(0)=2를 f(x)+2에 잘못 대입해 b를 틀리는 실수. 최종식 f(x)=(x−1)²(ax+b)−2에 x=0을 넣어 b−2=2 → b=4로 계산해야 한다.
실수 포인트 ③ : f(3)=2²×13−2에서 4×13=52, 52−2=50인데 급하게 계산하다 52로 답하는 실수.
정답 : 50