문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x)는 x=2 양쪽 모두 0으로 모여(V자 꼭짓점) 극한이 존재한다. g(x)는 x→2−에서 1, x→2+에서 2로 점프해 극한이 없다. 이 네 값(f: 0/0, g: 1/2)을 그래프 옆에 적어두면 ㄱㄴㄷㄹ이 10초짜리 산수로 바뀐다.
◀ 합답형은 각 함수의 좌·우극한부터 표로 정리
ㄱ(f+g): 좌 0+1=1, 우 0+2=2 → 다름 → 없음. ㄴ(f−g): 좌 −1, 우 −2 → 없음. ㄷ(f·g): 좌 0×1=0, 우 0×2=0 → 같음 → 존재. ㄹ(f/g): 좌 0/1=0, 우 0/2=0 → 존재. f가 0으로 가면 g의 점프(1↔2)가 0에 흡수돼 사라진다.
◀ 한 함수가 0으로 가면 상대의 점프가 0에 흡수된다
ㄹ에서 분모 g(x)는 좌 1, 우 2로 둘 다 0이 아니다. 분모가 0이 아니면 0/1=0, 0/2=0으로 안전하게 존재한다. 만약 분모가 0으로 갔다면 얘기가 완전히 달라진다. 나눗셈 극한은 언제나 ‘분모≠0’을 먼저 체크하라.
◀ 나눗셈 극한의 생사는 분모가 0인지에 달렸다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 극한 존재의 기준은 단 하나, ‘좌극한=우극한’이다. f는 x=2 양쪽 모두 0으로 극한이 존재하고, g는 좌1·우2로 점프해 극한이 없다. 핵심은 g의 점프가 연산 뒤에도 살아남는지다. 합·차에서는 점프가 그대로 전달돼 극한이 깨지지만, 곱·나눗셈에서는 f→0이 g의 점프를 0에 흡수시켜 좌·우가 모두 0으로 같아진다.
실수 포인트 ① : g의 극한이 없다고 g가 낀 모든 보기를 다 ‘없음’으로 단정하는 실수. 곱·나눗셈에서는 f→0이 g의 차이를 지워 극한이 살아난다.
실수 포인트 ② : ㄹ에서 분모 g가 0인지 확인 없이 넘어가는 실수. 다행히 g는 좌1·우2로 0이 아니라 나눗셈이 성립한다.
실수 포인트 ③ : 채워진 점(●)의 함숫값 g(2)=1을 극한값으로 쓰는 실수. 극한은 도착 직전 높이(좌 1, 우 2)로 읽어야 한다. 따라서 극한이 존재하는 것은 ㄷ, ㄹ.
정답 : ③ (ㄷ, ㄹ)