최고차항의 계수가 1인 서로 다른 세 이차다항식의 인수정리 문제입니다. (가), (나) 조건을 곱해서 대칭식을 만드는 발상이 핵심입니다. 차근차근 따라오시면 어렵지 않습니다.
📝 문제
🎯 출제자 의도
인수정리를 이용하여 식의 값을 구하는 문제
- 두 다항식의 곱이 다른 다항식으로 나누어떨어진다는 조건의 해석력
- 최고차항 계수 비교를 통한 몫의 차수 즉시 판단하는 감각
- “서로 다른 세 다항식”이라는 문구를 경우 배제의 결정적 단서로 활용하는 논리력
🔑 문제풀이 핵심 단서 4가지
- 차수 비교 → f(x)g(x)는 4차, (x-1)h(x)는 3차 → 몫 A(x)는 최고차항 계수 1인 1차식
- 두 조건을 곱하는 발상 → 좌변이 f(x)g(x)·g(x)h(x) = f(x)h(x)·(g(x))²로 변형
- (g(x))² = (x-1)(x-2)A(x)B(x) → x=1, x=2 대입 시 g(1)=0, g(2)=0 확정
- “서로 다르다” 조건으로 f(x)=h(x) 또는 g(x)=h(x)가 되는 경우 배제
⚡ 시험용 직관적 빠른풀이 (실전 2분 컷)
STEP 1️⃣ — g(x) 즉결
두 조건을 곱하면 좌변이 (g(x))²가 핵심 → (g(x))² = (x-1)(x-2)A(x)B(x)
좌변이 완전제곱이고 우변에 (x-1), (x-2)가 있으므로 g(x) = (x-1)(x-2) 암산 확정
STEP 2️⃣ — 대칭성 활용
조건 (가)에 g(x) 대입하면 f(x)는 (x-1)인수, 조건 (나)에 대입하면 h(x)는 (x-2)인수
“서로 다름” 조건으로 f(x) = (x-1)(x-a), h(x) = (x-2)(x-a) 같은 a
STEP 3️⃣ — 값 계산
f(-1) = (-2)(-1-a) = 2(1+a), g(-1) = (-2)(-3) = 6
f(-1) + g(-1) = 2a + 8 = 18 → a = 5
STEP 4️⃣ — 최종값
h(0) = (0-2)(0-5) = (-2)(-5) = 10
✔ 정답: ④ 10
📖 단계별 상세 해설 ①
🔍 해설 ①의 논리 흐름 풀어쓰기
① 차수로부터 몫의 형태 결정
– f(x)g(x)는 4차식, (x-1)h(x)는 3차식이므로 몫은 1차식
– 양변 모두 최고차항 계수가 1이므로 몫 A(x)도 최고차항 계수 1
→ f(x)g(x) = (x-1)h(x)·A(x) ······ ㉠
② 조건 (나)도 같은 논리 적용
→ g(x)h(x) = (x-2)f(x)·B(x) ······ ㉡
③ ㉠ × ㉡ 하고 f(x)h(x) 소거
f(x)g(x) · g(x)h(x) = (x-1)(x-2)·f(x)h(x)·A(x)B(x)
→ (g(x))² = (x-1)(x-2)A(x)B(x)
④ x=1 대입
(g(1))² = 0 → g(1) = 0 → g(x)는 (x-1)을 인수로 가짐
같은 방식으로 g(2) = 0 → g(x)는 (x-2)도 인수로 가짐
⑤ g(x)의 최종 형태
g(x)는 최고차항 계수 1인 이차식 → g(x) = (x-1)(x-2)
📖 단계별 상세 해설 ②
🔍 해설 ②의 논리 흐름 풀어쓰기
① g(x)를 ㉠에 대입하여 정리
f(x)(x-1)(x-2) = (x-1)h(x)A(x)
→ f(x)(x-2) = h(x)A(x)
② x=2 대입으로 h(2) 판정
h(2)A(2) = 0이므로 h(2)=0 또는 A(2)=0
만약 h(2)≠0이면 A(2)=0 → A(x)=x-2 → f(x)=h(x) (서로 다름 조건 위배, ❌)
→ h(2)=0, h(x)는 (x-2)를 인수로 가짐
③ 같은 논리로 f(x)는 (x-1)을 인수로 가짐
④ f(x), h(x)를 미지수로 표현
f(x) = (x-1)(x-a), h(x) = (x-2)(x-b)로 놓고 ㉠에 대입
(x-1)(x-a)(x-1)(x-2) = (x-1)(x-2)(x-b)A(x)
→ (x-1)(x-a) = (x-b)A(x)
→ b=1 또는 a=b
⑤ b=1 배제
b=1이면 h(x)=(x-2)(x-1)=g(x) → g(x)=h(x) (모순, ❌)
→ a = b
⑥ a 값 구하기
f(-1) = (-2)(-1-a) = 2(1+a) = 2a+2
g(-1) = (-2)(-3) = 6
f(-1) + g(-1) = 2a + 8 = 18 → a = 5 (따라서 b = 5)
⑦ h(0) 계산
h(x) = (x-2)(x-5)
h(0) = (-2)(-5) = 10
💡 이 문제에서 꼭 기억할 학습 포인트
- 차수 감각 — 나눗셈 조건을 보면 즉시 “몫은 몇 차인가?”를 판단하는 습관
- 조건 곱하기 발상 — 두 나눗셈 조건이 주어지면 곱해서 공통 인수를 소거해보기
- 완전제곱 패턴 — (g(x))² 같은 좌변이 나오면 우변도 완전제곱 구조로 해석
- “서로 다름”은 필살기 — 단순 전제가 아니라 경우를 배제하는 결정적 도구
- 대칭성 — (가)와 (나)가 대칭이므로 한쪽 결과를 반대쪽에 그대로 적용 가능
✅ 최종 정답
정답 ④ h(0) = 10
※ 본 풀이는 2026학년도 고2 3월 전국연합학력평가 수학 20번 문제의 공식 해설을 바탕으로 학습자의 이해를 돕기 위해 재구성되었습니다.