2025학년도 고2 3월 모의고사 수학 21번 최고난도 문항입니다. 조각함수의 그래프 개형을 케이스별로 추론하고, 원점대칭 + 정수점에서의 부호조건을 결합해야 하는 1등급 변별 문항입니다. 6가지 경우를 하나하나 소거하면서 답을 찾아갑니다.
📝 문제
🎯 출제자 의도
이차함수의 그래프를 추론하여 조건을 만족시키는 함숫값을 구한다.
- 조각함수의 좌·우 그래프의 원점대칭 관계를 간파하는 눈
- 계수 부호에 따라 그래프 개형을 6가지 케이스로 분류하는 체계성
- “f(x)=t의 실근이 2개인 t가 유일하다”는 조건을 그래프의 수평선 분석으로 해석
- 정수점 부호 조건 f(k)f(k+1)≥0을 경곗값 제어로 풀어내는 종합력
🔑 문제풀이 핵심 단서 5가지
- 원점대칭 관찰 → x>0 부분의 식 -x²+ax-b = -{(-x)²+a(-x)+b} → x<0 부분 그래프를 원점 대칭한 것
- 불연속 구조 → x=0에서 좌극한 b, 우극한 -b (b>0이므로 항상 분리)
- 조건 (가) 해석 → f(x)=t의 실근이 2개인 t가 “정확히 하나” → 수평선으로 그래프를 잘라 교점 2개인 경우가 유일해야 함
- 유일한 합격 케이스 → -a²/4 + b = -b, 즉 왼쪽 이차함수의 최솟값 = -b일 때만 t=-b 하나만 실근 2개 발생
- 조건 (나) → f(0)f(1)≥0에서 f(1)=0 강제 → b = a – 1 확보
⚡ 시험용 직관적 빠른풀이 (실전 3분 컷)
STEP 1️⃣ — 그래프 구조 파악
x≤0: 아래로 볼록 포물선, 꼭짓점 (-a/2, -a²/4+b), (0,b)에서 닫힘
x>0: 원점대칭 포물선, (0,-b) 열림 → 위로 볼록
두 조각은 원점 대칭 (핵심!)
STEP 2️⃣ — 조건 (가) 케이스 소거 (a>0 경우만 의미, 5가지 세부 케이스)
수평선 y=t와 교점이 정확히 2개인 t가 유일 → -a²/4 + b = -b인 경우만 생존
→ b = a²/8 ······ ㉠
STEP 3️⃣ — 조건 (나) 적용
f(0)=b>0, 원점대칭으로 f(-1) = -f(1)
f(0)f(1)≥0, f(-1)f(0)≥0 둘 다 성립하려면 f(1)=0
f(1) = -1 + a – b = 0 → b = a – 1 ······ ㉡
STEP 4️⃣ — a 값 결정
㉠=㉡: a²/8 = a – 1 → a² – 8a + 8 = 0 → a = 4 ± 2√2
STEP 5️⃣ — a 값 검증 (핵심 관문!)
– a = 4+2√2 → a-1 = 3+2√2 ≈ 5.83 → f(5)>0, f(6)<0 → f(5)f(6)<0 ❌
– a = 4-2√2 → a-1 = 3-2√2 ≈ 0.17 → 모든 정수점에서 f(k)f(k+1)≥0 ✅
→ a = 4 – 2√2, b = 3 – 2√2
STEP 6️⃣ — f(2) 계산
f(2) = -4 + 2a – b = -4 + 2(4-2√2) – (3-2√2) = -4 + 8 – 4√2 – 3 + 2√2 = 1 – 2√2
따라서 p = 1, q = -2 → p – q = 1 – (-2) = 3
✔ 정답: ② 3
📖 단계별 상세 해설 ① — 출제의도와 케이스 (i) a≤0
🔍 풀어쓰기
① 원점대칭 간파
x>0에서 f(x) = -x² + ax – b = -{(-x)² + a(-x) + b}
→ 왼쪽 식 g(x) = x² + ax + b의 그래프를 원점대칭한 것이 오른쪽 그래프
② 왼쪽 그래프 표준형
x² + ax + b = (x + a/2)² – a²/4 + b
→ 꼭짓점 (-a/2, -a²/4 + b)
③ a≤0인 경우 (꼭짓점이 x=0의 오른쪽 또는 0)
x≤0 영역에서 포물선은 단조감소, (0, b)에서 닫힘
x>0 영역은 원점대칭이라 (0, -b) 열림 후 단조감소
→ 어떤 수평선을 그어도 교점이 0개 또는 1개만 → 실근 2개 케이스 자체가 없음 ❌
📖 단계별 상세 해설 ② — 케이스 (ii) a>0의 5가지 세부분류
왼쪽 최솟값 < t < b 구간의 모든 t에서 실근 2개 발생 (왼쪽 2개, 오른쪽 0개) → t가 무수히 많음 ❌
케이스 (ii)-② : -a²/4 + b = 0 (왼쪽 꼭짓점이 x축 위)
0 < t < b 구간에서 여전히 실근 2개가 무수히 많이 발생 ❌
📖 단계별 상세 해설 ③ — 케이스 ③,④
케이스 (ii)-③ : -b < -a²/4 + b < 0
왼쪽 꼭짓점값 < t < 0 구간의 t에서 실근 2개가 무수히 많음 ❌
케이스 (ii)-④ : -a²/4 + b = -b ⭐ 유일한 합격!
실근 2개인 t는 t = -b 하나뿐 (왼쪽 꼭짓점에서 중근, 오른쪽 곡선에서 교점 1개 = 총 실근 2개)
→ 조건 (가) 만족! → -a²/4 + b = -b → b = a²/8
📖 단계별 상세 해설 ④ — 케이스 ⑤ 및 a 결정
케이스 (ii)-⑤ : -a²/4 + b < -b
t = -b와 t = (왼쪽 꼭짓점) 두 값에서 실근 2개 발생 → t가 둘 ❌
🔍 조건 (나) 적용
① f(0)f(1) ≥ 0
f(0) = b > 0 → f(1) ≥ 0 필요
② 원점대칭 활용
f(-1) = -f(1) → f(-1) ≥ 0이려면 -f(1) ≥ 0 → f(1) ≤ 0
①과 ② 동시 성립 → f(1) = 0 강제
③ a에 대한 방정식
f(1) = -1 + a – b = 0 → b = a – 1 ······ ㉡
㉠ b = a²/8 와 연립 → a²/8 = a – 1 → a² – 8a + 8 = 0
→ a = 4 ± 2√2
📖 단계별 상세 해설 ⑤ — 두 a 값 검증 및 최종 답
🔍 두 후보 비교 검증
Case A: a = 4 + 2√2 (큰 값)
a – 1 = 3 + 2√2 ≈ 5.83
x>0에서 f(x) = -(x-1)(x-(3+2√2))이므로 f(x)<0 구간은 0
→ 5 < 3+2√2 < 6 이므로 f(5)>0, f(6)<0
→ f(5)f(6) < 0 → 조건 (나) 위배 ❌
Case B: a = 4 – 2√2 (작은 값) ✅
a – 1 = 3 – 2√2 ≈ 0.17 (0과 1 사이)
– x>0에서 f(x) = -(x-1)(x-(3-2√2)) → k>1인 정수에서 모두 f(k)<0 → f(k)f(k+1)>0 ✅
– k=0: f(0)f(1) = b·0 = 0 ✅
– k=1: f(1)f(2) = 0·f(2) = 0 ✅
– 원점대칭으로 x<0 쪽도 동일 논리 → k=-1, -2에서도 0 또는 양수 ✅
→ 모든 정수 k에서 f(k)f(k+1) ≥ 0 성립
🎯 최종 계산
a = 4 – 2√2, b = a – 1 = 3 – 2√2
f(2) = -(2)² + a·2 – b = -4 + 2a – b
= -4 + 2(4 – 2√2) – (3 – 2√2)
= -4 + 8 – 4√2 – 3 + 2√2
= 1 – 2√2
f(2) = p + q√2 = 1 + (-2)√2 → p = 1, q = -2
∴ p – q = 1 – (-2) = 3
💡 이 문제에서 꼭 기억할 학습 포인트
- 원점대칭 포착 — f(-x) = -f(x) 관계가 보이면 그래프의 대칭 구조부터 그려라
- 케이스 분류의 기준 — 꼭짓점 y값과 경계값(여기선 -b)의 대소관계가 분류 기준
- “t가 유일하다” = 한 점에서만 성립 — 구간이면 무수히 많아지므로 경곗값 일치만 답
- 원점대칭 + 정수조건 — f(1)≥0과 f(-1)≥0을 함께 쓰면 f(1)=0 자동 강제
- 근의공식 결과는 반드시 검증 — 두 해 중 조건을 만족하는 것만 채택 (암묵적 가정 때문)
- 3-2√2와 3+2√2의 크기 감각 — √2 ≈ 1.414 숫자 감각이 정답 분기점
✅ 최종 정답
정답 ② p – q = 3
※ 본 풀이는 2025학년도 고2 3월 전국연합학력평가 수학 21번 문제의 공식 해설을 바탕으로 학습자의 이해를 돕기 위해 재구성되었습니다.