[고2 3월 모의고사] 2019 수학 29번 완벽풀이 | 다항식 나눗셈·나머지 정리 4점 단답형

다항식의 나눗셈과 나머지 정리를 이용하여 함숫값을 구한다.

• “나머지의 차수 < 나누는 식의 차수"라는 기본 원리로 g(x)의 차수를 역추적
• 나눗셈의 기본 항등식 f(x) = g(x)·Q(x) + R(x)을 자유자재로 쓰는 능력
• 최고차항 계수 조건으로 미지계수 줄이기
• 나머지 정리 f(1) = -9/4 를 적용하여 b를 결정 → 완전제곱식 패턴 포착

1. 나머지의 차수 조건 → 나머지 g(x)-2x²의 차수 < g(x)의 차수 → g(x)의 최고차항이 2x²로 소거되려면 g(x)는 2x²로 시작하는 이차식
2. g(x) 꼴 설정 → g(x) = 2x² + ax + b (미지수 a, b 2개)
3. 나눗셈 항등식 → f(x) = g(x)·몫 + 나머지 = g(x)·(g(x)-2x²) + (g(x)-2x²)
   → 공통 인수로 묶기: f(x) = {g(x)+1}(g(x)-2x²)
4. 최고차항 계수 = 1 → (g(x)-2x²) = ax+b의 최고차 계수 a와 {g(x)+1}의 최고차 2의 곱 = 2a = 1 → a = 1/2
5. 나머지 정리 적용 → f(1) = -9/4 → b에 대한 이차방정식 → 완전제곱 (b+2)² = 0 → b = -2

STEP 1️⃣ — g(x) 차수 결정
나머지 g(x)-2x²의 차수가 g(x)보다 작으려면 x² 항이 소거돼야 함
→ g(x)의 최고차항 = 2x² → g(x) = 2x² + ax + b
(이때 g(x) – 2x² = ax + b, 일차 이하)

STEP 2️⃣ — f(x) 구조 압축
f(x) = g(x)(ax+b) + (ax+b) = (g(x) + 1)(ax + b)
   = (2x² + ax + b + 1)(ax + b)

STEP 3️⃣ — 최고차 1 조건
x³ 계수: 2 × a = 1 → a = 1/2

STEP 4️⃣ — f(1) = -9/4 조건
f(1) = (2 + 1/2 + b + 1)(1/2 + b) = (b + 7/2)(b + 1/2) = b² + 4b + 7/4
b² + 4b + 7/4 = -9/4 → b² + 4b + 4 = 0 → (b+2)² = 0 → b = -2

STEP 5️⃣ — f(6) 계산
f(x) = (2x² + x/2 – 1)(x/2 – 2)
f(6) = (72 + 3 – 1)(3 – 2) = 74 × 1 = 74

✔ 정답: 74

• 나머지 차수의 제약 — “R(x)의 차수 < g(x)의 차수"는 g(x) 차수를 역추적할 때 최강 단서
• 공통인수 묶기 센스 — f = g·Q + R에서 Q=R이면 f = R(g+1)로 즉시 인수분해
• 최고차항 계수 비교 — 미지수 하나를 즉시 소거하는 가장 빠른 방법
• 나머지 정리 (Remainder Theorem) — f(x)를 (x-c)로 나눈 나머지 = f(c), 반드시 기억
• 완전제곱 패턴 주의 — 우변의 -9/4가 좌변 상수항과 맞물려 (b+2)² = 0 형태를 만드는 것은 우연이 아니라 출제자의 의도된 설계
• f(6) 같은 숫자 계산 — 전개하지 말고 인수분해 형태 그대로 대입하면 훨씬 빠름