고1 2018년 6월 모의고사 21번은 곱셈공식의 변형과 인수분해 센스를 동시에 묻는 전형적인 4점 객관식 킬러입니다. “두 다항식의 세제곱의 합”이라는 표현을 보자마자 어떤 공식이 떠올라야 하는지, 이 글에서 출제의도 → 핵심단서 → 단계별 풀이 → 시험장 빠른풀이 순서로 완벽하게 정리합니다.
① 문제를 먼저 3분간 스스로 풀어본다 → ② 출제의도 & 핵심단서만 먼저 읽는다 → ③ 다시 풀어본다 → ④ 전체 해설을 본다 → ⑤ 빠른풀이로 시험장 루틴을 암기한다.
🟩 2018년 6월 고1 모의고사 21번 | 곱셈공식과 이차다항식 추론
📝 문제
요약: 모든 실수 x에 대하여 두 이차다항식 P(x), Q(x)가 (가) P(x)+Q(x)=4, (나) {P(x)}³+{Q(x)}³ = 12x⁴+24x³+12x²+16을 만족할 때, P(x)의 최고차항 계수가 음수라는 조건에서 P(2)+Q(3)의 값을 구하는 문제입니다. (① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10)
🎯 출제자의 의도
조건 (가)의 P+Q=4를 대입하여 P(x)Q(x)의 식을 먼저 구한 뒤, 4차식을 잘 보이지 않는 꼴로 인수분해할 수 있는 관찰력과 치환 감각을 동시에 측정한다.”
🔑 문제풀이 핵심단서 3가지
- 세제곱 합의 변형공식: a³ + b³ = (a+b)³ − 3ab(a+b) → 합(P+Q)과 곱(PQ)으로 바꿔치기 하는 게 이 문제의 열쇠!
- (가)를 즉시 대입: P+Q=4를 대입하면 {P}³+{Q}³ = 64 − 12·P(x)Q(x). → 목표는 P(x)Q(x)를 먼저 구하기.
- 치환으로 인수분해 뚫기: x⁴+2x³+x²−4에서 x²+x = t로 두면 t²−4 = (t−2)(t+2). → 합·차 공식을 숨겨놓은 설계를 발견해야 함.
✏️ 상세 해설
[STEP 1] 세제곱 합 공식을 적용하여 변형
a³+b³ = (a+b)³ − 3ab(a+b) 공식을 P(x), Q(x)에 적용하면:
{P(x)}³ + {Q(x)}³ = {P(x)+Q(x)}³ − 3P(x)Q(x){P(x)+Q(x)}
조건 (가)에 의해 P(x)+Q(x) = 4이므로 그대로 대입:
좌변 = 4³ − 3·P(x)Q(x)·4 = 64 − 12·P(x)Q(x)
[STEP 2] P(x)Q(x)를 분리해서 정리
64 − 12·P(x)Q(x) = 12x⁴ + 24x³ + 12x² + 16
−12·P(x)Q(x) = 12x⁴ + 24x³ + 12x² − 48
양변을 −12로 나누면: P(x)Q(x) = −(x⁴ + 2x³ + x² − 4)
[STEP 3] 4차식 인수분해 — 치환이 답이다
x⁴ + 2x³ + x² − 4를 어떻게 쪼갤까? 처음 세 항을 묶어보자:
x⁴ + 2x³ + x² = x²(x² + 2x + 1) = x²(x+1)² = {x(x+1)}² = (x²+x)²
= (x²+x − 2)(x²+x + 2) = (x−1)(x+2)(x²+x+2)
[STEP 4] P(x)와 Q(x) 결정 — 음수 조건 활용
P(x)Q(x) = −(x²+x−2)(x²+x+2) 이고, P, Q 모두 이차다항식.
두 2차 인수 중 하나는 P, 다른 하나는 Q가 되어야 하며, 부호(−)가 둘 중 하나에 붙습니다.
여기에 P(x)+Q(x)=4를 만족시키는 조합을 찾아야 합니다.
Q(x) = x²+x+2 (최고차항 계수 +1)
검증: P(x)+Q(x) = (−x²−x+2) + (x²+x+2) = 4 ✅
[STEP 5] 최종 계산
Q(3) = 9 + 3 + 2 = 14
∴ P(2) + Q(3) = −4 + 14 = 10
🏆 정답: ⑤ 10
⚡ 시험용 직관적 빠른풀이 (90초컷)
2단계 ― PQ 추출: −PQ = x⁴ + 2x³ + x² − 4. 끝 세 항 말고 앞 세 항을 먼저 본다 → (x²+x)²로 묶이는 순간 게임 종료.
3단계 ― 합차공식: (x²+x)² − 2² = (x²+x−2)(x²+x+2). 한 덩어리를 치환처럼 다루는 감각이 핵심.
4단계 ― 부호 배치: P의 최고차항이 음수라고 했으니 “−” 부호를 P 쪽에. 남는 인수 둘 중 합이 4인 조합은 P=−(x²+x−2), Q=x²+x+2 유일. (만약 −(x²+x+2)를 P로 잡으면 P+Q ≠ 4이라서 탈락)
5단계 ― 대입: P(2) = −4, Q(3) = 14 → 합 10. ⑤번 마킹!
💡 “세제곱 합 → 합·곱으로, 4차식은 치환으로, 부호는 조건으로” 이 세 박자를 연습하면 이 유형은 90초 안에 끝낼 수 있습니다.
🧠 꼭 암기해둘 “곱셈공식 변형 3종 세트”
고1 범위에서 4점짜리 다항식 문제를 관통하는 공식 3가지입니다. 한 번에 외워두세요.
- a³ + b³ = (a+b)³ − 3ab(a+b) ← 이번 문제 핵심
- a³ − b³ = (a−b)³ + 3ab(a−b)
- a² + b² = (a+b)² − 2ab / a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
포인트는 “합과 곱으로 바꿔쓰기”입니다. 문제에 P+Q의 값이 주어진다면 99% 이 변형공식을 쓰게 됩니다. 또한 4차식이 나왔을 때 “x² + x”, “x² − x” 같은 한 덩어리로 치환하는 감각도 함께 훈련해 두세요. 이번 21번은 두 가지가 동시에 나온 복합 유형입니다.
— 본 해설은 학습 목적의 정리이며, 문제 저작권은 한국교육과정평가원/교육청에 있습니다. —