쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
543번 · 두 이차방정식의 공통근 \(\alpha\) + \(2\alpha=\beta-\gamma\) 조건 — \(3a+b\) 서술형
— 두 방정식의 합·곱 관계식에서 \(\beta-\gamma=6\) 도출 → \(\alpha=3\) 확정!
🔥 C단계✍️ 서술형
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- 📹 풀이 영상 (두 이차방정식 연립 + 조건 활용)
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- 🔑 α+β=−a+6, αβ=−1 / α+γ=−a, αγ=b
- 📐 β−γ=(−a+6−α)−(−a−α)=6, 2α=β−γ=6 → α=3
- 🎯 β=−1/3, γ=−19/3, a=10/3, b=−19 → 3a+b=−9
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2+(a-6)x-1=0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\),
이차방정식 \(x^2+ax+b=0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\gamma\)라 할 때 (공통근 \(\alpha\)),
\(2\alpha=\beta-\gamma\)가 성립합니다. \(3a+b\)를 구하는 서술형 문제입니다.
💡 핵심 아이디어 — β−γ를 α 없이 표현!
\(\beta=(\alpha+\beta)-\alpha=-a+6-\alpha\)
\(\gamma=(\alpha+\gamma)-\alpha=-a-\alpha\)
\(\therefore\beta-\gamma=(-a+6-\alpha)-(-a-\alpha)=6\)
\(\beta=(\alpha+\beta)-\alpha=-a+6-\alpha\)
\(\gamma=(\alpha+\gamma)-\alpha=-a-\alpha\)
\(\therefore\beta-\gamma=(-a+6-\alpha)-(-a-\alpha)=6\)
✏️ 단계별 풀이
1
근과 계수의 관계 정리
첫 번째 방정식: \(\alpha+\beta=-(a-6)=6-a\), \(\alpha\beta=-1\)
두 번째 방정식: \(\alpha+\gamma=-a\), \(\alpha\gamma=b\)
첫 번째 방정식: \(\alpha+\beta=-(a-6)=6-a\), \(\alpha\beta=-1\)
두 번째 방정식: \(\alpha+\gamma=-a\), \(\alpha\gamma=b\)
2
β−γ 계산
\[\beta-\gamma=(6-a-\alpha)-(-a-\alpha)=6\]
∴ \(2\alpha=\beta-\gamma=6 \implies \alpha=3\)
\[\beta-\gamma=(6-a-\alpha)-(-a-\alpha)=6\]
∴ \(2\alpha=\beta-\gamma=6 \implies \alpha=3\)
3
β, γ, a, b 결정
\(\alpha\beta=-1\)에서 \(\beta=-\dfrac{1}{3}\)
\(\alpha+\beta=6-a\): \(3-\dfrac{1}{3}=6-a \implies a=6-\dfrac{8}{3}=\dfrac{10}{3}\)
\(\alpha+\gamma=-a=-\dfrac{10}{3}\): \(\gamma=-\dfrac{10}{3}-3=-\dfrac{19}{3}\)
\(\alpha\gamma=b\): \(b=3\cdot(-\dfrac{19}{3})=-19\)
\(\alpha\beta=-1\)에서 \(\beta=-\dfrac{1}{3}\)
\(\alpha+\beta=6-a\): \(3-\dfrac{1}{3}=6-a \implies a=6-\dfrac{8}{3}=\dfrac{10}{3}\)
\(\alpha+\gamma=-a=-\dfrac{10}{3}\): \(\gamma=-\dfrac{10}{3}-3=-\dfrac{19}{3}\)
\(\alpha\gamma=b\): \(b=3\cdot(-\dfrac{19}{3})=-19\)
4
최종 계산
\[3a+b=3\cdot\frac{10}{3}+(-19)=10-19=-9\]
\[3a+b=3\cdot\frac{10}{3}+(-19)=10-19=-9\]
정답 : \(3a+b=-9\)
✍️ 서술형 채점 포인트
① 두 방정식의 근과 계수의 관계 명시 (2점)
② β−γ=6 도출 과정 (2점)
③ α=3 결정 (1점)
④ a=10/3, b=−19 각각 계산 (2점)
⑤ 3a+b=−9 최종 답 (1점)
② β−γ=6 도출 과정 (2점)
③ α=3 결정 (1점)
④ a=10/3, b=−19 각각 계산 (2점)
⑤ 3a+b=−9 최종 답 (1점)
⚠️ 이런 실수 조심!
- β, γ를 직접 α로 나타내려 하지 않기 — β=(α+β)−α로 표현하면 α가 소거되어 β−γ=6 등장!
- a=10/3이 분수임에 주의 — 3a=10으로 바로 계산 가능
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
7분
수능·모의고사
5분
🖼️ 교재 해설 이미지
