“
새로운 연산(◇)이 정의되었을 때, 그 결과를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 연산 X◇Y = Xᶜ∪Y 의 정의에 따라 주어진 식을 단계적으로 계산합니다.
2. (A◇B) = Aᶜ∪B
3. (A◇B)◇A = (Aᶜ∪B)◇A = (Aᶜ∪B)ᶜ ∪ A
4. 드모르간 법칙과 분배법칙을 이용해 식을 간단히 합니다.
– (A∩Bᶜ) ∪ A
– (A∪A) ∩ (Bᶜ∪A) = A ∩ (A∪Bᶜ)
– A (흡수법칙)
5. 벤 다이어그램을 그려서 영역을 확인하는 것이 더 직관적일 수 있습니다.
주의할 점:
새로운 연산이 정의되면, 그 정의에 충실하게 문자를 치환하여 계산하면 됩니다.
”
대칭차집합을 나타내는 벤 다이어그램 찾기
“
주어진 집합 연산이 나타내는 벤 다이어그램 영역을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 [ (A∩B) ∪ (A-B) ] ∩ B 를 간단히 합니다.
2. 괄호 안의 (A∩B) ∪ (A-B)는 집합 A와 같습니다.
3. 따라서 식은 A ∩ B 가 됩니다.
4. A와 B의 교집합 영역을 나타내는 벤 다이어그램을 찾습니다.
주의할 점:
복잡해 보이는 식의 각 부분을 먼저 간단히 한 후 전체를 계산하는 것이 효율적입니다.
”
주어진 연산과 동치인 표현 찾기
“
주어진 집합 연산과 동치인, 즉 같은 의미를 갖는 다른 표현을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. A∩(A∩B)ᶜ 을 연산 법칙을 이용해 간단히 합니다.
– A ∩ (Aᶜ∪Bᶜ) (드모르간)
– (A∩Aᶜ) ∪ (A∩Bᶜ) (분배법칙)
– ∅ ∪ (A∩Bᶜ) = A∩Bᶜ = **A-B**
2. 따라서 주어진 식은 A-B와 같습니다.
3. 각 보기의 식을 간단히 하여 A-B와 같아지는 것을 찾습니다.
주의할 점:
집합의 연산 법칙을 능숙하게 사용하여 식을 간단히 만드는 능력이 필요합니다. 벤 다이어그램을 그려서 확인하는 것도 좋은 방법입니다.
”
새로운 연산의 결과 찾기
“
벤 다이어그램을 보고, 주어진 집합 연산이 나타내는 영역을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각 보기의 연산을 단계별로 벤 다이어그램에 표현해봅니다.
2. (A-B): A에만 속하는 초승달 모양 영역.
3. (B-C): B에만 속하는 초승달 모양 영역.
4. **(A-B) ∩ (B-C)**: 두 영역의 공통부분을 찾습니다. 이 문제에서는 공통부분이 없습니다. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 (A-B)∪(B-C)를 나타냄)
5. 해설 기준: (A-B)∪(B-C)는 A에만 속하는 부분과 B에만 속하는 부분을 합친 영역입니다. 이와 일치하는 그림을 찾습니다.
주의할 점:
문제에서 교집합(∩)을 묻는지 합집합(∪)을 묻는지 기호를 명확히 확인해야 합니다. 벤 다이어그램을 단계적으로 그려보면 복잡한 연산도 시각적으로 쉽게 파악할 수 있습니다.
”
주어진 연산이 나타내는 벤 다이어그램 찾기
“
대칭차집합의 원소 합이 주어졌을 때, 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. S(A△B) = S(A∪B) – S(A∩B) 또는 S(A-B) + S(B-A) 입니다.
2. S(A∪B) = S(A) + S(B) – S(A∩B) 이므로, **S(A△B) = S(A) + S(B) – 2*S(A∩B)** 입니다.
3. 집합 A, B의 원소 합을 각각 구합니다. S(A)=15, S(B)=14+a.
4. A∩B = {4, 5} 이므로, S(A∩B) = 9 입니다.
5. 2번 공식에 모든 값을 대입하여 12 = 15 + (14+a) – 2*9 라는 방정식을 풉니다.
6. a값을 구합니다.
주의할 점:
대칭차집합의 원소 합에 대한 공식 S(A△B) = S(A) + S(B) – 2*S(A∩B)를 알고 있으면 계산이 매우 편리합니다.
”
주어진 연산과 동치인 표현 찾기
“
대칭차집합의 원소가 주어졌을 때, 원래 집합의 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 대칭차집합은 (A-B)∪(B-A) 입니다. 즉, A에만 있거나 B에만 있는 원소들의 모임입니다.
2. 주어진 집합 A와 B에서, 공통으로 존재할 가능성이 있는 원소는 a와 3입니다.
3. (경우 1) a=3일 때: A={1,3}, B={3,5,6}. 이때 A-B={1}, B-A={5,6}. 대칭차집합은 {1,5,6}이 되어 주어진 {1,6,7}과 다릅니다.
4. (경우 2) a≠3일 때: 교집합의 원소는 3입니다. A-B={1,a}, B-A={5,6}. 대칭차집합은 {1,a,5,6} 입니다. 이 집합이 {1,6,7}과 같아지려면 a=7이고 5가 없어야 하는데 모순입니다.
주의할 점:
해설에서는 A△B={1,a,5}라고 하였는데, 이는 B={3,a,5}로 문제를 오독했을 가능성이 있습니다. 주어진 문제 B={3,5,6} 기준으로는 해가 존재하지 않을 수 있습니다. (해설의 B={3,a,5}를 기준으로 풀이 진행)
”
벤 다이어그램 영역 계산하기
“
주어진 집합 연산이 의미하는 포함 관계를 파악하고, 그 관계를 나타내는 벤 다이어그램을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 (A-B) ∪ (B-A) = A∪B 를 분석합니다.
2. 좌변은 **대칭차집합** (A△B) 입니다.
3. 우변은 A와 B의 합집합입니다.
4. (A∪B) – (A∩B) = A∪B 가 성립하려면, **A∩B = ∅** 이어야 합니다.
5. 즉, 두 집합 A와 B는 **서로소** 관계입니다.
6. 두 집합이 서로 겹치지 않는 벤 다이어그램을 찾습니다.
주의할 점:
복잡한 집합 연산식이 주어졌을 때, 그것이 어떤 특별한 관계(포함, 서로소 등)를 의미하는지 해석하는 능력이 필요합니다.
”
대칭차집합의 원소 합 공식 활용하기
“
조건제시법으로 주어진 집합들의 교집합과 차집합을 구하고 원소의 합을 계산하는 문제입니다.
접근법:
1. 집합 A, B, C를 각각 원소나열법으로 나타냅니다.
– A: 9 이하의 홀수
– B: 12 이하의 소수
– C: 12의 양의 약수
2. (A∩C): A와 C에 공통으로 속하는 원소를 찾습니다.
3. (B-C): B에만 속하고 C에는 속하지 않는 원소를 찾습니다.
4. 최종적으로 (A∩C) ∪ (B-C) 집합을 구하고, 모든 원소의 합을 계산합니다.
주의할 점:
각 집합의 조건을 정확히 해석하여 원소를 빠짐없이 나열하는 것이 중요합니다.
”
대칭차집합의 원소가 주어졌을 때
“
차집합과 교집합의 원소가 주어졌을 때, 원래 집합의 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. A-B={1, 5} 이므로, 1과 5는 A에는 속하지만 B에는 속하지 않습니다.
2. A∩B={3} 이므로, 3은 A와 B 모두에 속합니다.
3. 1, 2번 정보로부터 집합 A = {1, 5, 3} 임을 알 수 있습니다.
4. 주어진 A={1, a, 5}와 비교하여 a=3임을 확정합니다.
5. B-A={4} 이므로, 4는 B에는 속하지만 A에는 속하지 않습니다.
6. 2, 5번 정보로부터 집합 B = {3, 4} 임을 알 수 있습니다. 주어진 B={3, b}와 비교하여 b=4임을 확정합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램을 그려 A-B, B-A, A∩B 각 영역에 해당하는 원소를 채워 넣으면 두 집합 A, B를 쉽게 재구성할 수 있습니다.
”
주어진 관계식이 서로소임을 의미할 때
“
조건제시법으로 주어진 집합들의 교집합과 합집합의 원소 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 집합 A, B를 각각 원소나열법으로 나타냅니다.
– A: 12의 양의 약수
– B: 18의 양의 약수
2. **(A∩B)**: 12와 18의 공약수, 즉 최대공약수 6의 약수입니다. {1, 2, 3, 6}
3. **(A∪B)**: 두 집합의 모든 원소를 중복 없이 나열합니다.
4. S(A∩B)와 S(A∪B)를 각각 계산하여 더합니다.
주의할 점:
S(A∪B) = S(A) + S(B) – S(A∩B) 공식을 이용하여 S(A∪B)를 구하면 더 편리합니다.
”
세 집합의 교집합, 차집합 원소의 합
