“
세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘적어도 한 종류’의 활동을 한 학생 수, 즉 합집합의 원소 개수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 세 집합의 포함-배제 원리 공식 **n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) – n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A) + n(A∩B∩C)** 를 제시합니다.
2. [2단계] 문제에서 n(A∩B), n(B∩C), n(C∩A) 값이 직접 주어지지 않았습니다. ‘A,B를 모두’와 같은 표현이 이를 의미합니다.
3. [3단계] 문제에서 주어진 모든 값을 공식에 정확히 대입하여 n(A∪B∪C)를 계산합니다.
주의할 점:
873번 문제와 완전히 동일한 유형입니다. 서술형이므로 공식과 대입 과정을 명확히 보여주는 것이 중요합니다.
”
두 종류만’ 해당하는 원소 개수 (서술형)
“
세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘A만 신청한’ 학생 수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 구하려는 집합은 **n(A – (B∪C))** 입니다.
2. [2단계] n(A-(B∪C)) = n(A) – n(A∩(B∪C)) = n(A) – [n(A∩B)+n(A∩C)-n(A∩B∩C)] 공식을 이용합니다.
3. [3단계] 문제에 주어진 값들을 공식에 대입하여 계산합니다. n(A∩B), n(A∩C), n(A∩B∩C) 값이 모두 필요합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램에서 A 영역에서 B 또는 C와 겹치는 부분을 모두 제외한 순수한 A만의 영역을 구하는 문제입니다.
”
적어도 하나’ (합집합) 원소 개수 (서술형)
“
세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘두 종류 이하’의 프로그램을 시청하는 학생 수를 구하는 문제입니다. 여사건을 이용하면 편리합니다.
접근법:
1. [1단계] ‘두 종류 이하’의 여사건은 ‘세 종류 모두’ 시청하는 경우입니다.
2. [2단계] 따라서, **n(U) – n(A∩B∩C)** 를 계산하면 됩니다.
3. [3단계] 세 집합의 합집합 공식을 이용하여 n(A∩B∩C) 값을 먼저 구합니다. (‘적어도 한 편’을 시청했으므로 n(A∪B∪C) = n(U) 입니다.)
4. 구한 값을 2단계 식에 대입하여 최종 답을 찾습니다.
주의할 점:
문제의 표현을 정확히 이해하는 것이 중요합니다. ‘두 종류 이하’는 전체에서 ‘세 종류’를 제외한 것과 같습니다.
”
한 종류만’ 해당하는 원소 개수 (서술형)
“
세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘A와 B는 신청하고 C는 신청하지 않은’ 학생 수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 구하려는 집합은 **n((A∩B) – C)** 입니다.
2. [2단계] n((A∩B)-C) = **n(A∩B) – n(A∩B∩C)** 공식을 이용합니다.
3. [3단계] 문제에서 n(A∩B)와 n(A∩B∩C) 값이 주어졌는지 확인하고, 주어지지 않았다면 다른 조건들을 이용해 이 값들을 먼저 구해야 합니다.
4. 모든 값을 구해 공식에 대입하여 계산합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램을 그려보면, A와 B의 교집합 영역에서 C와 겹치는 부분을 제외한 영역의 원소 개수를 구하는 것임을 쉽게 알 수 있습니다.
”
새로운 집합의 원소 합 구하기
“
세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘한 가지 신문만 구독하는’ 가구 수를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] ‘한 종류 신문만’ 구독하는 가구 수는 **n(A)+n(B)+n(C) – 2[n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)] + 3n(A∩B∩C)** 공식으로 구할 수 있습니다.
2. [2단계] 주어진 정보 n(U), n(A), n(B), n(C), n(A∩B∩C), n((A∪B∪C)ᶜ)를 이용합니다.
3. 먼저 n(A∪B∪C)를 구하고, 세 집합 합집합 공식을 이용해 **두 개씩의 교집합의 합 [n(A∩B)+…]** 을 구합니다.
4. [3단계] 1단계 공식에 모든 값을 대입하여 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
878번 문제와 동일한 유형입니다. 서술형이므로 각 단계별로 어떤 공식을 사용하고 어떤 값을 구하는지 명확하게 서술해야 합니다.
”
복잡한 집합 연산의 포함 관계 추론하기
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두 집합의 교집합에 대한 정보가 주어졌을 때, 세 집합의 합집합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘A, B, C 중 어느 영화도 관람하지 않은 학생’은 n((A∪B∪C)ᶜ) 입니다.
2. **n(A∪B∪C) = n(U) – n((A∪B∪C)ᶜ)** 공식을 이용해 합집합의 원소 개수를 먼저 구합니다.
3. 이제 합집합 공식을 이용해 n(A∩B∩C)를 구해야 합니다. 이를 위해 n(A∩B), n(B∩C), n(C∩A)를 알아야 합니다.
4. 문제의 ‘A,B를 모두 관람한 학생은 10명’과 같은 조건이 바로 교집합의 원소 개수를 알려주는 것입니다.
5. 모든 값을 공식에 대입하여 n(A∩B∩C)를 찾습니다.
주의할 점:
문제의 문장을 집합 기호로 정확하게 변환하는 것이 중요합니다. ‘A와 B를 모두’는 A∩B, ‘적어도 하나’는 A∪B∪C, ‘모두 아닌’은 (A∪B∪C)ᶜ을 의미합니다.
”
대칭차집합 원소 개수로 교집합 구하기
“
세 집합의 교집합의 원소 개수의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 집합의 교집합 최솟값은 직접적인 공식보다, 포함-배제 원리를 변형하여 접근합니다.
2. n(A∩B∩C) = n(A∪B∪C) – [n(A)+n(B)+n(C)] + [n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)]
3. n(A∪B∪C)는 최대 n(U)=50 입니다. 각 두 집합 교집합의 최댓값은 min(n(A), n(B)) 등입니다.
4. 또는, **n(A∩B∩C) ≥ n(A)+n(B)+n(C) – 2n(U)** 와 같은 부등식을 활용할 수 있습니다. (이 경우, 두 집합 교집합 정보가 없을 때 사용)
5. 이 문제에서는 ‘모두 가입한 학생’이 5명 이상이라고 했으므로, 최솟값은 5가 됩니다.
주의할 점:
문제에서 주어진 조건(‘5명 이상’)을 직접적으로 활용해야 합니다. 복잡한 계산 없이 답을 찾을 수 있는 경우도 있습니다.
”
약수 집합의 원소 개수와 포함 관계 이해하기
“
세 집합의 합집합 원소 개수의 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. **n(A∪B∪C)**는 세 집합이 **최대한 많이 겹칠 때** 최소가 됩니다.
2. 세 집합의 원소 개수 중 가장 큰 것은 n(C)=25 입니다.
3. n(A)=20, n(B)=17 이므로, A와 B가 모두 C에 포함되는 극단적인 경우를 상상할 수 있습니다.
4. 따라서, n(A∪B∪C)의 최솟값은 세 집합의 원소 개수 중 **가장 큰 값**인 25가 됩니다.
주의할 점:
세 집합 합집합의 최솟값은 n(A), n(B), n(C) 중 최댓값(max)입니다.
”
배수 집합의 복합적인 포함 관계 이해하기
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세 집합의 교집합과 관련된 원소 개수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘안경만 착용한 학생’은 n(A – (B∪C))를 의미합니다. 이 값을 최대로 만들어야 합니다.
2. **n(A – (B∪C)) = n(A) – n(A∩(B∪C)) = n(A) – [n(A∩B) + n(A∩C) – n(A∩B∩C)]**
3. 이 값이 최대가 되려면, 빼주는 값 [n(A∩B) + n(A∩C) – n(A∩B∩C)]가 **최소**가 되어야 합니다.
4. 주어진 조건들을 이용해 이 식의 최솟값을 찾습니다. 일반적으로 A와 B, A와 C가 최대한 겹치지 않도록, 즉 B∪C가 A와 최소한으로 겹치도록 설정하면 됩니다.
주의할 점:
세 집합의 원소 개수 최대/최소 문제는 벤 다이어그램을 그려 각 영역의 인원이 0 이상이라는 부등식을 세워 연립하여 푸는 것이 정석적인 방법입니다.
”
여러 조건을 만족하는 부분집합 개수 찾기
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세 집합의 정보가 주어졌을 때, ‘한 종류의 자격증만 가진’ 사람 수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 값은 벤 다이어그램에서 각 집합에만 속하는 세 개의 영역(A-B-C, B-A-C, C-A-B)의 원소 수 합입니다.
2. 이 영역의 합은 **n(A∪B∪C) – [두 종류만 가진 사람 수] – [세 종류 모두 가진 사람 수]** 로 계산할 수 있습니다.
3. 또는, **n(A)+n(B)+n(C) – 2[n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)] + 3n(A∩B∩C)** 공식을 이용할 수 있습니다.
4. 문제에 주어진 값들을 이용해 계산합니다. 먼저 두 종류 교집합의 합을 구해야 합니다.
주의할 점:
벤 다이어그램의 각 영역을 나타내는 공식들을 정확히 알고 있어야 효율적으로 풀 수 있습니다.
”
원소 개수의 최대/최소 종합 판별 문제
