거듭제곱근 값 구하기 연습
거듭제곱근은 “n번 곱해서 a가 되는 수”를 찾는 과정입니다. 거듭제곱의 역연산이자, 유리수 지수·로그로 넘어가는 핵심 연결고리이기도 합니다. 학평·모평에서는 “실수인 거듭제곱근의 개수”를 묻는 문제가 해마다 출제되고 있습니다. ∛8 = 2는 바로 떠올려도, ⁴√81이나 ∛(−27)의 실수 근을 정확히 판별하는 건 연습이 필요합니다. 이 포스트에서 세제곱근·네제곱근·n제곱근의 값을 직접 구하며, 실수 근의 존재 조건과 부호 규칙을 몸에 익혀보세요.
핵심 공식 정리
공식 1 │ 거듭제곱근의 정의
xn = a 를 만족하는 x를 a의 n제곱근이라 한다.
· 기호: n√a (n제곱근 a) │ n = 2일 때 √a, n = 3일 때 ∛a
공식 2 │ 실수인 n제곱근의 개수
| a > 0 | a = 0 | a < 0 | |
| n 짝수 | 2개 (±n√a) | 1개 (0) | 0개 (없음) |
| n 홀수 | 1개 (+) | 1개 (0) | 1개 (−) |
공식 3 │ 기호 n√a 의 약속
· a ≥ 0일 때: n√a는 음이 아닌 실수 근 (양의 n제곱근 또는 0)
· a < 0이고 n이 홀수일 때: n√a는 음의 실수 근
⚠ 짝수제곱근에서 음수의 거듭제곱근은 실수 범위에서 존재하지 않는다!
연습문제
Q1. ∛8 = ?
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2³ = 8 이므로
∛8 = 2
Q2. ∛(−27) = ?
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(−3)³ = −27 이므로
∛(−27) = −3
💡 홀수(3)제곱근 → 음수의 거듭제곱근이 실수로 존재한다.
Q3. ⁴√81 = ?
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3⁴ = 81 이므로
⁴√81 = 3
💡 ⁴√81 기호는 양의 네제곱근만 나타낸다. (−3도 네제곱하면 81이지만 기호 약속상 양수)
Q4. ⁴√(−16)의 실수인 네제곱근의 개수는?
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n = 4 (짝수), a = −16 (음수)
짝수제곱근에서 a < 0이면 실수인 근은 존재하지 않는다.
∴ 0개
Q5. ⁵√(−32) = ?
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(−2)⁵ = −32 이므로
⁵√(−32) = −2
💡 홀수(5)제곱근 → 음수도 실수 근이 1개 존재.
Q6. 64의 실수인 세제곱근을 모두 구하시오.
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n = 3 (홀수), a = 64 (양수)
4³ = 64 이므로 실수인 세제곱근은 4 (1개)
💡 홀수제곱근 + 양수 → 양의 실수 근 딱 1개.
Q7. 16의 실수인 네제곱근을 모두 구하시오.
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n = 4 (짝수), a = 16 (양수)
2⁴ = 16, (−2)⁴ = 16
∴ 실수인 네제곱근은 2와 −2 (2개)
💡 짝수제곱근 + 양수 → ±(양의 n제곱근) 2개. 기호 ⁴√16 = 2 (양수만).
Q8. ∛(−125) + ⁴√625 = ?
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∛(−125): (−5)³ = −125 이므로 ∛(−125) = −5
⁴√625: 5⁴ = 625 이므로 ⁴√625 = 5
∴ (−5) + 5 = 0
📘 이 개념의 이론이 필요하다면?
🔢 고등대수 연산 시리즈 – 지수 영역
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