📌 [TOUGH] f(x)를 a²ˣ로 변환하면, f(p+q)도 a²ᵖ · a²ᵍ로 바로 구할 수 있습니다!
이 문제는 지수 함수의 대칭식을 변수 치환하여 함수값을 구하는 고난도 서술형입니다. f(x) = (aˣ − a⁻ˣ)/(aˣ + a⁻ˣ)의 분모·분자에 aˣ를 곱하면 (a²ˣ − 1)/(a²ˣ + 1)로 정리되고, f(p) = 1/2, f(q) = 1/3 조건에서 a²ᵖ = 3, a²ᵍ = 2를 구한 뒤, f(p+q) = (a²ᵖ · a²ᵍ − 1)/(a²ᵖ · a²ᵍ + 1)로 최종 답을 계산합니다. 정답은 5/7입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 100번 · 서술형 · TOUGH)
양수 a에 대하여 f(x) = (aˣ − a⁻ˣ)/(aˣ + a⁻ˣ)이라 할 때, f(p) = 1/2, f(q) = 1/3이다.
이때 f(p+q)의 값을 구하는 서술형 문제입니다.
[1단계] f(p) = 1/2을 만족할 때, a²ᵖ의 값을 구한다. [3점]
[2단계] f(q) = 1/3을 만족할 때, a²ᵍ의 값을 구한다. [3점]
[3단계] f(p+q)의 값을 구한다. [4점]
정답은 5/7입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
f(x) = (aˣ − a⁻ˣ)/(aˣ + a⁻ˣ)의 분모·분자에 aˣ를 곱하면
= aˣ(aˣ − a⁻ˣ) / aˣ(aˣ + a⁻ˣ) = (a²ˣ − 1)/(a²ˣ + 1) … ⓐ
ⓐ에 p를 대입하면 f(p) = (a²ᵖ − 1)/(a²ᵖ + 1) = 1/2
2(a²ᵖ − 1) = a²ᵖ + 1, 2a²ᵖ − 2 = a²ᵖ + 1
∴ a²ᵖ = 3
ⓐ에 q를 대입하면 f(q) = (a²ᵍ − 1)/(a²ᵍ + 1) = 1/3
3(a²ᵍ − 1) = a²ᵍ + 1, 3a²ᵍ − 3 = a²ᵍ + 1, 2a²ᵍ = 4
∴ a²ᵍ = 2
ⓐ에 p + q를 대입하면
f(p+q) = (a²⁽ᵖ⁺ᵍ⁾ − 1)/(a²⁽ᵖ⁺ᵍ⁾ + 1) = (a²ᵖ × a²ᵍ − 1)/(a²ᵖ × a²ᵍ + 1)
= (3 × 2 − 1)/(3 × 2 + 1) = 5/7
∴ f(p+q) = 5/7
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① f(x) = (aˣ − a⁻ˣ)/(aˣ + a⁻ˣ)를 (a²ˣ − 1)/(a²ˣ + 1)로 변환하지 못하는 경우.
91번에서 연습한 “분모·분자에 aˣ 곱하기” 전략을 그대로 적용하면 됩니다.
실수 ② 교차 곱 후 일차방정식 정리에서 부호를 틀리는 경우.
2(a²ᵖ − 1) = a²ᵖ + 1 전개 시 좌변 −2, 우변 +1을 정확히 이항하세요.
실수 ③ f(p+q)에서 a²⁽ᵖ⁺ᵍ⁾ = a²ᵖ⁺²ᵍ = a²ᵖ × a²ᵍ라는 지수법칙을 적용하지 못하는 경우.
a^(m+n) = aᵐ × aⁿ이 이 문제의 핵심 키입니다.
💡 꿀팁 – f(x) = (a²ˣ−1)/(a²ˣ+1) 함수의 성질
이 함수는 쌍곡탄젠트(tanh)와 같은 구조입니다:
① t = a²ˣ로 치환하면 f(x) = (t − 1)/(t + 1)
② f(x) = k이면 t = (1 + k)/(1 − k) (단, k ≠ 1)
③ f(p+q)를 구할 때는 a²⁽ᵖ⁺ᵍ⁾ = a²ᵖ · a²ᵍ = t_p · t_q를 바로 대입
이 치환 패턴은 지수함수 + 분수식이 결합된 문제에서 반복 출제됩니다.