📌 √(n/2)과 ³√(n/3)이 동시에 정수가 되는 n? 소인수분해로 조건을 쪼개면 됩니다!
이 문제는 거듭제곱근이 정수가 되는 조건을 소인수 지수로 분석하는 서술형 유형입니다. n = 2ᵖ × 3ᵍ 꼴로 놓고, √(n/2)이 정수가 되려면 p와 q가 각각 어떤 조건을 만족해야 하는지, ³√(n/3)이 정수가 되려면 p와 q가 어떤 조건을 만족해야 하는지를 따로 구한 뒤 교집합을 찾습니다. 정수론과 지수법칙이 결합된 내신 고난도 서술형입니다. 정답은 648입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 98번 · 서술형)
두 수 √(n/2), ³√(n/3)의 값이 모두 양의 정수가 되도록 하는 양의 정수 n의 값을
n = 2ᵖ × 3ᵍ (p, q는 정수) 꼴로 나타낼 때, n의 최솟값을 구하는 서술형 문제입니다.
[1단계] √(n/2)이 양의 정수가 되도록 하는 p, q의 조건을 구한다. [3점]
[2단계] ³√(n/3)이 양의 정수가 되도록 하는 p, q의 조건을 구한다. [3점]
[3단계] n의 최솟값을 구한다. [4점]
정답은 648입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
√(n/2)이 자연수가 되려면 n/2 = 2ᵖ⁻¹ × 3ᵍ이 완전제곱수여야 합니다.
n = 2ᵖ × 3ᵍ이므로 n/2 = 2ᵖ⁻¹ × 3ᵍ
완전제곱수 조건: 각 소인수의 지수가 짝수
→ p − 1이 짝수, 즉 p는 홀수 (p = 1, 3, 5, …) … ⓐ
→ q는 짝수 (q = 0, 2, 4, …) … ⓑ
³√(n/3)이 자연수가 되려면 n/3 = 2ᵖ × 3ᵍ⁻¹이 완전세제곱수여야 합니다.
완전세제곱수 조건: 각 소인수의 지수가 3의 배수
→ p는 3의 배수 (p = 3, 6, 9, …) … ⓒ
→ q − 1이 3의 배수, 즉 q를 3으로 나눈 나머지가 1 (q = 1, 4, 7, …) … ⓓ
ⓐ, ⓒ를 동시에 만족하는 p의 최솟값: 홀수이면서 3의 배수 → p = 3
ⓑ, ⓓ를 동시에 만족하는 q의 최솟값: 짝수이면서 3으로 나눈 나머지가 1 → q = 4
따라서 n의 최솟값은 2³ × 3⁴ = 8 × 81 = 648
∴ n의 최솟값 = 648
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① “완전제곱수 = 각 소인수의 지수가 짝수”, “완전세제곱수 = 각 소인수의 지수가 3의 배수”를 정확히 적용하지 않는 경우.
이 두 조건이 이 문제의 핵심이므로 반드시 암기하세요.
실수 ② n/2 = 2ᵖ⁻¹ × 3ᵍ에서 2의 지수가 p − 1이 되는 것을 놓치는 경우.
n을 2로 나누면 2의 지수만 1 줄어들고, 3의 지수는 그대로입니다.
실수 ③ ⓐ~ⓓ 조건의 교집합에서 최솟값을 잘못 구하는 경우.
“홀수이면서 3의 배수인 최소 자연수 = 3”, “짝수이면서 3으로 나눈 나머지가 1인 최소 자연수 = 4″를 차분히 확인하세요.
💡 꿀팁 – 거듭제곱근이 정수가 되는 조건
ⁿ√N이 양의 정수가 되려면 N이 완전 n제곱수여야 합니다.
① N을 소인수분해: N = 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × …
② 각 지수 a, b, c, …가 모두 n의 배수이면 OK
③ n/k를 빼야 하는 경우(이 문제처럼) 먼저 나눗셈으로 지수 변환 후 조건 적용
이 패턴은 수능·모평에서도 출제되는 단골 유형입니다.