📌 (3⁶ᵃ+1)/(3⁴ᵃ+3²ᵃ) — 복잡해 보이지만, 3⁻³ᵃ을 곱하면 단번에 정리됩니다!
이 문제는 지수 분수식을 대칭식으로 변환하는 서술형 4단계 유형입니다. 분자·분모에 3⁻³ᵃ을 곱해 (3³ᵃ + 3⁻³ᵃ)/(3ᵃ + 3⁻ᵃ) 꼴로 바꾸고, 9ᵃ + 9⁻ᵃ = 7 조건에서 3ᵃ + 3⁻ᵃ를 구한 뒤 세제곱하여 3³ᵃ + 3⁻³ᵃ까지 올라갑니다. “분자·분모에 같은 것을 곱해 대칭식으로 만든다”는 핵심 전략을 확실히 잡아 가세요. 정답은 6입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 96번 · 서술형)
9ᵃ + 9⁻ᵃ = 7일 때, (3⁶ᵃ + 1)/(3⁴ᵃ + 3²ᵃ)의 값을 구하는 서술형 문제입니다. (단, a는 실수이다.)
[1단계] 주어진 식의 분자, 분모에 3⁻³ᵃ을 각각 곱하여 변형한다. [2점]
[2단계] 3ᵃ + 3⁻ᵃ의 값을 구한다. [3점]
[3단계] 3³ᵃ + 3⁻³ᵃ의 값을 구한다. [3점]
[4단계] (3⁶ᵃ + 1)/(3⁴ᵃ + 3²ᵃ)의 값을 구한다. [2점]
정답은 6입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
(3⁶ᵃ + 1)/(3⁴ᵃ + 3²ᵃ)의 분자, 분모에 각각 3⁻³ᵃ을 곱하면
= 3⁻³ᵃ(3⁶ᵃ + 1) / 3⁻³ᵃ(3⁴ᵃ + 3²ᵃ)
= (3³ᵃ + 3⁻³ᵃ) / (3ᵃ + 3⁻ᵃ)
(3ᵃ + 3⁻ᵃ)² = 9ᵃ + 2 + 9⁻ᵃ = 7 + 2 = 9
이때 3ᵃ + 3⁻ᵃ > 0이므로
∴ 3ᵃ + 3⁻ᵃ = 3
3ᵃ + 3⁻ᵃ = 3의 양변을 세제곱하면
(3ᵃ + 3⁻ᵃ)³ = 3³에서
3³ᵃ + 3(3ᵃ + 3⁻ᵃ) + 3⁻³ᵃ = 27
3³ᵃ + 3⁻³ᵃ + 9 = 27
∴ 3³ᵃ + 3⁻³ᵃ = 18
[별해] 3³ᵃ + 3⁻³ᵃ = (3ᵃ + 3⁻ᵃ)³ − 3(3ᵃ + 3⁻ᵃ) = 27 − 9 = 18
따라서 (3⁶ᵃ + 1)/(3⁴ᵃ + 3²ᵃ) = (3³ᵃ + 3⁻³ᵃ)/(3ᵃ + 3⁻ᵃ) = 18/3 = 6
∴ (3⁶ᵃ + 1)/(3⁴ᵃ + 3²ᵃ) = 6
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 1단계에서 “왜 3⁻³ᵃ을 곱하는가”를 이해하지 못하고 무작정 전개하는 경우.
분자·분모의 최고 차수와 최저 차수의 평균이 되는 지수를 곱하면 대칭식이 됩니다.
실수 ② (3ᵃ + 3⁻ᵃ)² 전개에서 중간항 2를 빠뜨려 3ᵃ + 3⁻ᵃ = √7로 잘못 구하는 경우.
(A + B)² = A² + 2AB + B²에서 AB = 3ᵃ · 3⁻ᵃ = 1이므로 2AB = 2입니다.
실수 ③ 세제곱 전개에서 (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³의 중간항을 3AB(A+B)로 묶지 못하는 경우.
3 × 1 × (3ᵃ + 3⁻ᵃ) = 3 × 3 = 9가 됩니다.
💡 꿀팁 – 분수식 대칭화 전략
(3⁶ᵃ + 1)/(3⁴ᵃ + 3²ᵃ) 같은 분수식을 만나면:
① 분자의 지수 범위: 6a ~ 0, 분모의 지수 범위: 4a ~ 2a
② 분자 중앙값 = 3a, 분모 중앙값 = 3a → 3⁻³ᵃ을 곱하면 대칭!
③ 대칭식으로 변환 후 “제곱 → 세제곱” 순서로 값 결정
이 패턴은 91번(분모·분자에 aˣ 곱하기)과 같은 원리이니 함께 복습하세요.