📌 괄호가 3겹이나 되는 지수식… 지수법칙으로 한 번에 정리하면 의외로 간단합니다!
이 문제는 최다빈출 왕중요 서술형으로, 복잡한 거듭제곱 식을 지수법칙으로 간단히 정리한 뒤 자연수가 되는 정수 m의 개수를 구하는 문제입니다. 핵심은 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ 법칙으로 지수를 한 번에 곱하고, 1/256=2⁻⁸로 바꿔 밑을 2로 통일하는 것입니다. 정답은 10(개)입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 90번 · 최다빈출 왕중요 · 서술형)
[{(1/256)^(9/4)}^(8/3)]^(1/m) 이 자연수가 되도록 하는 모든 정수 m의 개수를 다음 단계로 서술하시오.
1단계 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 정리한다. [4점]
2단계 주어진 식이 자연수가 되는 가능한 정수 m의 값을 모두 구한다. [5점]
3단계 정수 m의 개수를 구한다. [1점]
📷 풀이 해설 이미지
![마플시너지 대수1 90번 [{(1/256)^½}^(3/8)]ⁿ 자연수 정수 m 개수 풀이](https://local2onlineacademy.com/wp-content/uploads/2026/03/마플시너지대수답지0090.webp)
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
[{(1/256)^(9/4)}^(8/3)]^(1/m)
= (1/256)^(9/4 × 8/3 × 1/m)
= (1/256)^(6/m)
1/256 = 2⁻⁸이므로
= (2⁻⁸)^(6/m) = 2^(−48/m)
2^(−48/m)의 값이 자연수가 되려면 −48/m의 값이 0 이상의 정수여야 합니다.
(음의 정수이면 2의 음수 거듭제곱이 되어 1보다 작은 분수가 됨)
−48/m ≥ 0이고 정수이려면 정수 m은 48의 음의 약수이어야 합니다.
(m이 음수여야 −48/m이 양수 또는 0이 됨. 단, m=0은 불가)
즉 정수 m의 값은
−1, −2, −3, −4, −6, −8, −12, −16, −24, −48
따라서 정수 m의 개수는 10
∴ 정수 m의 개수 = 10
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 지수를 곱할 때 9/4 × 8/3 = 72/12 = 6임을 실수하는 경우.
분수끼리 곱할 때는 약분을 먼저 하면 편합니다: (9×8)/(4×3) = 72/12 = 6.
실수 ② 양의 약수만 구하는 경우. m이 양수이면 −48/m이 음수가 되어 2의 음수 거듭제곱,
즉 1보다 작은 분수가 됩니다. 자연수가 되려면 m은 음의 약수여야 합니다.
실수 ③ 48의 약수 개수를 잘못 세는 경우.
48=2⁴×3이므로 양의 약수의 개수는 (4+1)(1+1)=10개입니다.
💡 꿀팁 – “2ⁿ이 자연수” 조건 정리
2ⁿ이 자연수가 되려면 n이 0 이상의 정수여야 합니다.
① n=0 → 2⁰=1 (자연수 ✓)
② n=양의 정수 → 2, 4, 8, 16, … (자연수 ✓)
③ n=음의 정수 → 1/2, 1/4, … (자연수 ✗)
④ n=분수 → 무리수 (자연수 ✗)
따라서 −48/m ≥ 0이고 정수 → m은 48의 음의 약수입니다.