📌 −8의 세제곱근이 −2 하나뿐이라고요? 복소수 범위까지 생각하면 3개입니다!
이 문제는 서술형으로, 거듭제곱근의 정의에 따라 x³=−8의 모든 근을 구한 뒤 그 중에서 실수인 것을 찾는 문제입니다. 1단계에서 인수분해 x³+8=(x+2)(x²−2x+4)=0을 이용해 모든 세제곱근을 구하고, 2단계에서 실수인 근만 골라내면 됩니다. 정답은 해설 참조 (실수인 세제곱근: −2)입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 89번 · 서술형)
−8의 세제곱근에 대하여 다음 단계로 서술하시오.
1단계 −8의 세제곱근을 모두 구한다. [6점]
2단계 −8의 세제곱근 중에서 실수인 것을 구한다. [4점]
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
−8의 세제곱근을 x라 하면
x³ = −8, 즉 x³ + 8 = 0
(x+2)(x²−2x+4) = 0
x+2=0에서 x = −2
x²−2x+4=0에서 근의 공식을 적용하면
x = (2±√(4−16))/2 = (2±√(−12))/2 = (2±2√3 i)/2
∴ x = −2 또는 x = 1±√3 i
따라서 −8의 세제곱근 중 실수인 것은 ∛(−8) = −2
∴ −8의 세제곱근: −2, 1+√3 i, 1−√3 i / 실수인 것: −2
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① “세제곱근=실수 1개”로 단순 암기하여 복소수근을 구하지 않는 경우.
세제곱근은 x³=a의 모든 근이므로 복소수 범위에서 항상 3개(중복 포함)입니다.
실수 ② x³+8을 인수분해할 때 (x+2)(x²+2x+4)로 잘못 쓰는 경우.
a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²)이므로 x²−2x+4가 맞습니다.
실수 ③ 서술형에서 “실수인 것은 −2″만 쓰고 근거를 생략하는 경우.
1±√3 i는 허수이므로 실수가 아님을 명시해야 감점을 피합니다.
💡 꿀팁 – a³±b³ 인수분해 공식 확인
서술형에서 자주 쓰이는 인수분해 공식을 정리해 두세요.
① a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
② a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
이차식 부분의 판별식 D=−3b²<0이므로 항상 복소수근 2개가 나옵니다.
따라서 n이 3일 때 실수인 세제곱근은 항상 1개뿐입니다.