📌 “지수가 자연수면 밑에 조건 없다”는 것, 확실히 알고 계신가요?
이 문제는 지수법칙이 적용되는 밑의 범위 조건을 표로 묻는 학교기출 대표유형입니다. 지수의 범위(자연수·정수·유리수·실수)가 달라질 때 밑 a에 붙는 조건이 각각 다릅니다. “유리수 지수부터 a>0 조건이 필요하다”는 핵심 규칙을 표 형태로 완벽히 암기해두면 이 유형은 10초 안에 해결됩니다. 정답은 ③입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 20번 · 학교기출 대표유형 · NORMAL)
지수법칙을 적용할 때, 지수 x의 범위(자연수·정수·유리수·실수)에 따라 밑 a가 만족해야 하는 조건 (가)~(라)를 바르게 연결한 것을 찾는 문제입니다. 정답은 ③입니다.
| 지수 x의 범위 | 자연수 | 정수 | 유리수 | 실수 |
|---|---|---|---|---|
| 밑 a의 조건 | 실수 (제한 없음) | a ≠ 0 | a > 0 | a > 0 |
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약 – 지수 범위별 밑의 조건
a² = a × a처럼 반복 곱셈이므로 a가 어떤 실수여도 정의됩니다. 음수, 0, 분수 등 모든 실수에 대해 성립합니다.
음의 정수 지수는 역수(a⁻ⁿ = 1/aⁿ)를 포함하므로 a = 0이면 분모가 0이 되어 정의 불가. 따라서 a ≠ 0 조건 필요.
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) 로 거듭제곱근을 포함하므로, 짝수 근호에서 음수는 실수가 되지 않습니다. 따라서 a > 0 조건이 필요합니다.
실수 지수 aˣ(x는 무리수 포함)는 지수함수로 정의되며, 이는 a > 0(a ≠ 1)에서만 의미가 있습니다. 따라서 a > 0 조건이 필요합니다.
∴ (가): 실수, (나): a≠0, (다): a>0, (라): a>0 → 정답: ③
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① “(가) 자연수 지수 → a≠0″으로 잘못 답하는 경우.
자연수 지수는 반복 곱셈이므로 a=0도 가능합니다(0²=0). 조건이 없습니다.
실수 ② “(나) 정수 지수 → a>0″으로 과도하게 조건을 추가하는 경우.
정수 지수는 음수 밑도 허용됩니다(예: (-2)³=-8). a≠0이면 충분합니다.
실수 ③ (다)와 (라)를 다른 조건으로 구분하려는 경우.
유리수 지수와 실수 지수 모두 a>0 조건이 동일합니다.
💡 꿀팁 – 밑의 조건 3단계 암기법
지수의 범위가 넓어질수록 밑의 조건이 점점 강해집니다.
① 자연수 지수: 제한 없음 (실수 전체)
② 정수 지수: a ≠ 0 (역수 사용, 0 제외)
③ 유리수·실수 지수: a > 0 (거듭제곱근·지수함수, 양수만)
“자연수→없음 / 정수→≠0 / 유리수 이상→>0” 이 3단계만 기억하면 표 문제는 완벽합니다.