마플시너지미적분1 0192번 답지 풀이영상 삼차함수 극한 존재 조건 두 정수 쌍 함수값 최댓값

출제의도

2025학년도 수능 21번으로 출제된 문항입니다. 앞 문항(0191)과 겉모습은 비슷하지만 결정적으로 다른 점이 하나 있습니다. 분모가 삼차함수라는 것입니다. 삼차함수는 반드시 실근을 가지므로 ‘분모가 0이 되는 자리가 아예 없다’는 선택지가 처음부터 존재하지 않습니다. 그래서 이 문제는 분모의 근을 피해 가는 문제가 아니라, 근이 있어도 분자가 반드시 함께 0이 되도록 만드는 문제입니다.

핵심은 연쇄입니다. t가 f의 근이면 분자 f(2x+1)도 x=t에서 0이어야 하므로 2t+1 역시 f의 근이 됩니다. 그러면 2t+1에서 다시 4t+3이, 거기서 또 8t+7이… 끝없이 새 근이 만들어집니다. 삼차함수의 근은 많아야 세 개이니 이 연쇄는 어디선가 멈춰야 하고, 멈추는 유일한 자리가 t=2t+1, 즉 t=−1입니다. 이 고정점 하나를 스스로 찾아내는지가 이 문항의 전부입니다.

단계별 힌트

상세 해설

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

1등급 다른 풀이 · 평행이동으로 고정점을 드러내기

근의 연쇄를 다룰 때 2t+1을 그대로 반복 대입하면 4t+3, 8t+7처럼 숫자가 지저분해집니다. s=t+1로 치환해 보세요. 2t+1에 대응하는 값은 (2t+1)+1=2(t+1)=2s입니다. 즉 연쇄는 s → 2s → 4s → 8s → …라는 단순한 배수 구조가 됩니다.

s≠0이면 |2ⁿs|가 끝없이 커지며 서로 다른 근을 무한히 만들어내므로 불가능하고, 남는 것은 s=0, 곧 t=−1뿐입니다. 부등식도 계산도 없이 한 줄로 결론이 납니다. 마무리 계산도 전개한 식 대신 인수분해된 꼴을 쓰면 빠릅니다. f(1)=(1+1){1+(a−1)+4}=2(a+4)이므로 a=4를 넣어 16이 즉시 나옵니다.

실수를 줄이는 전략

• 삼차함수는 반드시 실근을 갖는다는 사실부터 못박으세요. 0191번처럼 ‘분모가 0이 되지 않는 경우’를 찾으려다 시간을 통째로 날리는 실수가 가장 흔합니다.
• f(t)=0에서 멈추면 안 됩니다. 얻어낸 f(2t+1)=0을 다시 출발점으로 삼아 한 번 더 적용하는 반복이 이 문제의 전부입니다.
• t=2t+1을 푸는 이유를 ‘식이 같아지니까’로만 외우지 마세요. 근이 유한 개여야 한다는 제약이 연쇄를 멈추게 만든다는 논리가 서술형에서 채점 포인트가 됩니다.
• 중복도 확인을 건너뛰지 마세요. −1이 m중근이면 분자는 (2x+2)^m=2^m(x+1)^m이라 정확히 같은 차수로 상쇄되어 극한이 존재합니다.
• 삼중근 경우를 ‘극한이 존재하니까 합격’으로 처리하면 안 됩니다. 이 경우를 탈락시키는 근거는 극한이 아니라 상수항 f(0)=4입니다.
• 판별식은 D<0(서로 다른 두 허근)입니다. a=5나 a=−3이면 D=0이 되어 −1이 아닌 실근이 새로 생기므로 반드시 제외해야 합니다.
• 구하는 값은 a의 최댓값이 아니라 f(1)의 최댓값입니다. a=4까지 구해 놓고 4를 답으로 적는 실수를 조심하세요.

한 걸음 더 · 내신연계 출제문항 089

해설 이미지 아래쪽의 내신연계 089번은 같은 원리를 다른 옷으로 입힌 문항입니다. x→a에서 분모가 0이니 분자도 0이어야 한다는 출발점은 동일하고, 거기서 얻은 세 개의 함숫값 조건으로 삼차함수의 식을 세우는 흐름입니다. 0192번의 논리가 몸에 붙었는지 확인하기 좋은 짝 문항이니 이어서 풀어 두세요.