출제의도
2028학년도 04월 고3 모의평가 예시문항 18번입니다. 0191·0192번이 ‘분모의 근을 분자가 상쇄하는가’를 물었다면, 이 문항은 한 걸음 더 나아가 분자가 x3으로 나누어떨어지도록 함수의 인수 구조를 설계하는 문제입니다. 분모가 x3이라는 고정된 형태이므로, 극한 존재 조건은 곧 “분자에서 x=0이 세 번 이상 겹치는가”라는 중복도 세기 문제로 바뀝니다.
또 하나의 관문은 조건 (가)의 번역입니다. “두 곡선이 직선 y=x 위의 두 점 A, B를 지난다”는 말은 f(x)−x와 g(x)−x가 공통 인수 (x−a)(x−b)를 갖는다는 뜻입니다. 이 번역을 해내면 분자가 (x−a)2(x−b)2(x−k)라는 단정한 꼴로 정리되고, 제곱 인수는 중복도를 짝수로만 만든다는 성질에서 k=0이 강제됩니다. 조건을 식이 아니라 인수의 개수로 읽는 훈련이 그대로 채점되는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 점 A, B의 x좌표를 a, b(a<b)라 두세요. 두 곡선이 모두 이 점들을 지나고 그 점들이 직선 y=x 위에 있으므로, f(x)−x와 g(x)−x는 모두 x=a, x=b를 근으로 갖습니다.
최고차항의 계수가 1이라는 조건 덕분에 f(x)−x는 최고차항의 계수가 1인 삼차식, g(x)−x는 최고차항의 계수가 1인 이차식입니다. 삼차 쪽은 인수가 하나 더 필요하다는 점(상수 k)을 놓치지 마세요. 이제 조건 (나)의 첫 번째 식에 두 결과를 대입하면 분자가 어떤 모양이 되는지 확인해 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
첫 번째 극한의 분자는 (x−a)2(x−b)2(x−k)입니다. 이 식이 x3으로 나누어떨어지려면 x=0이 3중근 이상이어야 합니다. 그런데 앞의 두 인수는 제곱이라 중복도를 2씩만 기여하고 a≠b이므로, 3을 만드는 조합은 ‘a 또는 b 중 하나가 0’이면서 ‘k=0’인 경우뿐입니다.
두 번째 극한은 새로 전개하지 말고 f(x)+x={f(x)−x}+2x로 바꿔 쓰는 것이 핵심입니다. 그러면 분자에서 x를 두 번 뽑아낼 수 있고, 남은 식에 x=0을 대입했을 때 0이 되어야 한다는 조건에서 미지수가 확정됩니다. 마지막으로 a<b라는 대소 조건으로 두 경우 중 하나를 걸러내세요.
정답 확인
정답 ② (f(3)+g(8)=12+56=68)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)를 인수분해로 번역하기
두 점 A, B의 x좌표를 a, b(a<b)라 하면 f(x)−x=(x−a)(x−b)(x−k), g(x)−x=(x−a)(x−b)입니다. 즉 f(x)=(x−a)(x−b)(x−k)+x, g(x)=(x−a)(x−b)+x입니다.
STEP B첫 번째 극한 — 중복도 3을 만드는 조합
분자는 (x−a)2(x−b)2(x−k)이고 분모는 x3이므로 x=0이 분자의 3중근 이상이어야 합니다. 제곱 인수는 2씩만 기여하고 a=b는 불가능하므로 가능한 조합은 a=0이고 k=0, 또는 b=0이고 k=0 두 가지뿐입니다.
STEP C두 번째 극한으로 미지수 확정하기
(ⅰ) a=0, k=0이면 f(x)=x2(x−b)+x, g(x)=x(x−b)+x입니다. f(x)+x=x{x(x−b)+2}, g(x)+x=x(x−b+2)이므로 분자를 x2으로 묶고 정리하면 (x2−bx+2)(x−b+2)x의 극한을 따지게 됩니다. (분모)→0이므로 (분자)→0, 즉 2(−b+2)=0에서 b=2입니다.
(ⅱ) b=0, k=0이면 같은 계산에서 a=2가 나오는데, 이는 a<b=0에 어긋나므로 탈락입니다.
STEP Df(3)+g(8) 계산하기
f(x)=x2(x−2)+x, g(x)=x(x−2)+x이므로 f(3)=9×1+3=12, g(8)=8×6+8=56입니다. 따라서 f(3)+g(8)=68입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 조건을 ‘접한다’로 통일해서 보기
f(x)−x는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x의 교점을, f(x)+x는 곡선과 직선 y=−x의 교점을 나타냅니다. 그러면 조건 (나)의 두 식은 각각 “두 곡선이 원점에서 직선 y=x와 만나는 중복도의 합이 3 이상“, “두 곡선이 원점에서 직선 y=−x와 만나는 중복도의 합이 3 이상“이라는 한 문장으로 통일됩니다.
앞의 조건에서 f(x)−x=x2(x−b), g(x)−x=x(x−b)가 나오므로 중복도는 2+1=3, 즉 삼차함수는 원점에서 y=x에 접하고 이차함수는 그냥 지나갑니다. 그런데 y=−x 쪽을 보면 f(x)+x=x(x2−bx+2)로 중복도가 1뿐이라 부족합니다. 모자란 2를 채울 곳은 g(x)+x=x(x−b+2) 하나뿐이고, 여기서 x=0이 중근이 되려면 −b+2=0, 곧 b=2입니다. 실제로 g(x)+x=x2이 되어 이차함수가 원점에서 직선 y=−x에 접합니다. 계산 없이 “어디가 접해야 하는가”만 따져도 답이 나오는 구조입니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘최고차항의 계수가 1’은 장식이 아니라 인수분해를 확정해 주는 열쇠입니다. f(x)−x 역시 최고차항의 계수가 1인 삼차식이라는 점을 먼저 확인하세요.
- 삼차 쪽 인수 (x−k)를 빠뜨리면 식이 성립하지 않습니다. 근이 a, b 두 개만 주어졌을 뿐, 삼차식은 인수가 세 개입니다.
- 분자를 전개하지 마세요. (x−a)2(x−b)2(x−k) 그대로 두고 0이 몇 번 겹치는지만 세는 것이 이 문제의 정석입니다.
- 제곱 인수는 중복도를 2씩만 만듭니다. 그래서 3을 만들려면 k=0이 반드시 필요하고, a=b=0으로 때우는 길은 두 점이 서로 다르다는 조건에 막힙니다.
- f(x)+x를 처음부터 다시 만들지 말고 {f(x)−x}+2x로 쓰세요. 이미 구한 식을 재활용하면 계산량이 절반으로 줄고 x로 묶는 구조도 바로 보입니다.
- a<b라는 대소 약속을 처음에 세워 두고 끝에서 반드시 적용하세요. (ⅱ)를 걸러내는 유일한 근거가 이 부등식입니다.
- 마무리 계산은 f(x)=x2(x−2)+x 꼴에 그대로 대입하는 것이 빠릅니다. 굳이 전개해 x3−2x2+x로 만들면 부호 실수가 늘어납니다.
한 걸음 더 · 내신연계 출제문항 090
이어지는 내신연계 090번은 같은 ‘극한 존재 = 인수로 나누어떨어짐’의 논리를 무한대 극한과 (x+1)k 꼴의 인수로 바꿔 묻습니다. 최고차항 비교로 식을 세운 뒤 나누어떨어지는 조건으로 k를 좁혀 가는 흐름이니, 0193번의 관점이 제대로 잡혔는지 점검하기 좋습니다.
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