출제의도
이 문항은 2026학년도 09월 고3 모의평가 13번으로 출제된 문제입니다. 묻는 것은 ‘정수 k의 개수’라는 셈 문제처럼 보이지만, 실제로 평가하는 힘은 “극한값이 존재한다”는 문장을 분모의 근 구조로 번역하는 능력입니다. 분모를 f(x){f(x)−k(x+2)}로 묶는 순간, 문제는 “이차식이 실근을 갖지 않거나, 갖더라도 그 근이 분자 x2으로 상쇄되는 자리여야 한다”는 조건 하나로 압축됩니다.
난도를 만드는 지점은 조건 (분모 ≠ 0) 하나로 끝내고 싶은 유혹입니다. 그렇게 풀면 −2 < k < 6에서 멈춰 정수 7개를 답으로 적게 됩니다. 분모가 0이 되어도 극한이 존재할 수 있는 예외를 스스로 떠올려 k=6을 추가로 건져 올리는지가 등급을 가르는 자리입니다. 경계 한 칸이 곧 오답이 되는, 전형적인 ‘경우 누락형’ 4점 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 f(x)=x2+6x+12를 완전제곱 꼴로 고쳐 보세요. f(x)=(x+3)2+3이므로 모든 실수 x에 대해 f(x) > 0입니다. 이 사실 하나로 분모에서 신경 쓸 인수가 절반으로 줄어듭니다.
이제 분모 {f(x)}2−k(x+2)f(x)를 f(x)로 묶어 보세요. 분모가 0이 되는 자리는 오직 f(x)−k(x+2)=0인 곳뿐입니다. 그리고 ‘모든 실수 a‘라는 말은, 단 하나의 a에서라도 극한이 발산하면 그 k는 탈락이라는 뜻입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
경우를 둘로 나눕니다. (i) 분모가 어디서도 0이 되지 않는 경우 — 이차방정식 x2+(6−k)x+12−2k=0이 실근을 갖지 않으면 되므로 판별식 D < 0을 풀면 됩니다.
(ii) 분모가 0이 되는 자리가 있어도 극한이 살아남는 경우 — 분자가 x2이므로 상쇄가 가능한 자리는 x=0 단 하나뿐입니다. 그러니 위 이차식에 x=0을 대입해 12−2k=0을 풀어 k를 구하고, 그 k를 되돌려 넣어 분모가 정말 x2을 인수로 갖는지, 극한값이 실제로 나오는지까지 확인하세요. 마지막에 두 범위를 합칠 때 등호 포함 여부를 반드시 다시 점검합니다.
정답 확인
정답 ④ (정수 k는 −1, 0, 1, …, 6의 8개)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A분모의 구조부터 파악하기
f(x)=(x+3)2+3 > 0이므로 분모 {f(x)}2−k(x+2)f(x)=f(x){f(x)−k(x+2)}에서 앞 인수는 절대 0이 되지 않습니다. 뒤 인수를 정리하면 f(x)−k(x+2)=x2+(6−k)x+12−2k입니다. 따라서 모든 판단은 이 이차식의 실근이 있느냐, 있다면 어디에 있느냐로 귀결됩니다.
STEP B실근이 없는 경우 — 판별식 D < 0
분모가 어디서도 0이 아니면 분수식은 모든 점에서 연속이므로 극한값은 자동으로 존재합니다. D=(6−k)2−4(12−2k)=k2−4k−12=(k−6)(k+2) < 0에서 −2 < k < 6을 얻습니다.
STEP C실근이 있어도 살아남는 경우 — x=0에서의 상쇄
분자가 x2이므로, 분모의 근이 존재한다면 그 근은 x=0이어야만 상쇄가 가능합니다. f(0)−k·2=12−2k=0에서 k=6이고, 이때 이차식은 x2+0·x+0=x2이 되어 근이 x=0 하나(중근)뿐입니다. 실제로 극한을 계산하면 x2x2f(x)의 꼴이 되어 x→0일 때 112로 수렴합니다. 다른 자리에서는 분모가 0이 되지 않으므로 k=6도 조건을 만족합니다.
두 경우를 합치면 −2 < k ≤ 6이고, 이를 만족하는 정수 k는 −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6의 8개입니다.
1등급 다른 풀이 · 고정점을 지나는 직선으로 보기
분모가 0이 되는 조건 f(x)=k(x+2)는 포물선 y=f(x)와 직선 y=k(x+2)의 교점을 묻는 식입니다. 이 직선은 k가 무엇이든 항상 점 (−2, 0)을 지나고, 기울기만 k로 바뀌는 직선다발입니다. f(−2)=4 > 0이니 (−2, 0)은 포물선 바깥의 점이고, 여기서 그은 접선은 정확히 두 개 — 기울기 6(접점 (0, 12))과 기울기 −2(접점 (−4, 4))입니다.
이제 그림 하나로 결론이 납니다. 기울기가 두 접선 사이(−2 < k < 6)면 직선이 포물선을 만나지 않아 분모가 0이 될 일이 없습니다. 접하는 두 경우 중에서는 접점의 x좌표가 0인 쪽만 분자 x2이 중근을 상쇄해 주므로 k=6은 합격, 접점이 (−4, 4)인 k=−2는 그 자리에서 분자가 16이라 발산합니다. 판별식을 두 번 계산할 필요 없이 −2 < k ≤ 6이 바로 나옵니다. 기울기가 두 접선 바깥이면 교점이 두 개 생기고 그중 적어도 하나는 0이 아니므로 곧바로 탈락이라는 점도 그림에서 한눈에 보입니다.
실수를 줄이는 전략
- f(x)를 완전제곱부터 하세요. f(x) > 0을 확인하지 않으면 f(x)=0인 경우까지 헛되이 나누게 되어 시간이 두 배로 듭니다.
- ‘모든 실수 a에 대하여’는 전칭 조건입니다. a에 몇 개 숫자를 넣어 보고 넘어가면 반드시 틀립니다. 분모가 0이 되는 자리 전체를 통제해야 합니다.
- 분모가 0이면 무조건 탈락이라고 단정하지 마세요. 분자 x2이 상쇄해 줄 수 있는 x=0은 유일한 예외이고, 이 한 경우를 빠뜨리면 답이 7개가 됩니다.
- 반대로 x=0 이외의 근은 어떤 형태든 구제되지 않습니다. 분자가 그 자리에서 0이 아니므로 (0이 아닌 수)/(0)이 되어 발산합니다.
- k=−2도 판별식이 0이라 중근이지만, 접점이 x=−4라서 탈락입니다. ‘중근이면 괜찮다’가 아니라 ‘중근의 위치가 0이어야 괜찮다‘입니다.
- 마무리는 경계 점검입니다. −2 < k ≤ 6에서 왼쪽은 열린 구간, 오른쪽은 닫힌 구간이므로 정수는 −1부터 6까지 8개. 등호 하나를 반대로 읽으면 7개 또는 9개가 나옵니다.
한 걸음 더 · 내신연계 출제문항 088
해설 이미지 아래쪽에 붙어 있는 내신연계 088번은 같은 구조를 ‘연속’의 언어로 바꿔 물어봅니다. 분모가 0이 되는 자리를 분자가 상쇄하는지 확인한다는 뼈대는 그대로이므로, 0191번을 이해했다면 이어서 풀어 두 문제를 한 묶음으로 정리해 두는 것을 권합니다.
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