📌 단원 한눈에 — 왜 수능 고득점의 갈림길인가
평면좌표 > 선분의 내분점은 좌표평면 도형 문제를 푸는 핵심 도구입니다. 수능·학평에서 내분점은 단독으로 나오기보다 삼각형의 넓이, 닮음, 무게중심, 직선의 방정식과 결합되어 출제됩니다. 특히 이 문제처럼 “넓이 조건 → 길이 비 → 내분 비율”로 정보를 변환하는 사고는 4점 도형 문제의 분기점이 됩니다. 공식을 외우는 단계를 넘어 주어진 조건을 내분 비율로 번역하는 능력이 고득점을 가릅니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심 맥락
출제의도는 “넓이의 비를 길이의 비로 바꿔 내분점 공식을 역으로 적용”할 수 있는지를 묻는 데 있습니다.
- 두 삼각형 BOC, OAC의 높이는 점 C에서 선분 AB까지의 거리로 공통 → 넓이 비 = 밑변 비
- 넓이 비가 2 : 1이므로 BO : OA = 2 : 1, 즉 원점 O는 선분 BA를 2 : 1로 내분하는 점
- 내분점이 원점 (0, 0)임을 이용해 내분점 공식에 대입 → a, b를 역으로 결정
- (다른 풀이) 두 직각삼각형의 AA 닮음비 1 : 2를 이용해도 동일하게 B(−6, −2)를 얻음
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념 (클릭 시 이동)
이 문제는 내분점 외에 아래 개념들이 다리 역할을 합니다.
- 높이가 같은 두 삼각형의 넓이 비 = 밑변 길이의 비 — 넓이 조건을 길이 비로 번역하는 첫 단추
- 넓이의 비와 내분점 — 넓이 비를 그대로 내분 비율로 연결
- 삼각형의 닮음 (AA 닮음) — 직각삼각형 두 개의 닮음비로도 좌표 결정 가능
- 선분의 내분점 공식 — 내분점이 원점임을 역이용해 a, b 도출
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