“
평행한 두 직선 위의 점을 잇는 선분 길이의 최솟값을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선이 평행한지 먼저 확인합니다.
2. 평행한 두 직선 위의 점을 잇는 선분의 길이가 최소가 될 때는, 그 선분이 두 직선에 **수직**일 때입니다.
3. 따라서 선분 길이의 최솟값은 **두 평행한 직선 사이의 거리**와 같습니다.
4. 두 직선 사이의 거리를 공식을 이용해 구하면 됩니다.
주의할 점:
‘선분 길이의 최솟값’이라는 표현을 ‘두 직선 사이의 거리’로 기하학적으로 해석하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
정사각형과 평행한 두 직선
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정사각형의 성질과 평행한 두 직선의 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 정사각형이므로 마주보는 두 변 AB와 CD는 서로 평행합니다. 따라서 직선 CD는 직선 AB와 기울기가 같습니다.
2. 직선 AB의 방정식을 구합니다.
3. 직선 CD는 직선 AB와 평행하므로, y절편만 미지수로 설정하여 방정식을 세울 수 있습니다.
4. 정사각형의 한 변의 길이는 두 점 A, B 사이의 거리와 같습니다.
5. 또한 한 변의 길이는, 평행한 두 직선 AB와 CD 사이의 거리와도 같습니다. 이 등식을 이용해 직선 CD의 y절편을 구하고, 최종적으로 a, b 값을 찾습니다.
주의할 점:
정사각형의 한 변의 길이를 ‘두 점 사이의 거리’로도, ‘평행한 두 직선 사이의 거리’로도 표현할 수 있다는 점을 이용하는 것이 이 문제의 핵심 아이디어입니다.
”
평행선과 수직선의 넓이 활용
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평행한 두 직선과 수직인 선분, 그리고 삼각형의 넓이를 종합적으로 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형의 밑변 PQ의 길이는 평행한 두 직선 사이의 거리와 같습니다. 거리 공식을 이용해 PQ의 길이를 구합니다.
2. 삼각형 OPQ의 넓이가 20이라고 주어졌으므로, 높이 OH(원점에서 직선 PQ까지의 거리)를 구할 수 있습니다.
3. 직선 PQ는 주어진 두 직선과 수직이므로, 기울기를 쉽게 알 수 있습니다. (기울기 -1/2)
4. 직선 PQ의 방정식을 y=-1/2x + k 로 설정하고, 원점과의 거리가 2단계에서 구한 높이와 같다는 식을 세워 k값을 구합니다.
5. 완성된 직선 PQ의 방정식을 문제의 형태와 비교하여 a, b를 찾습니다.
주의할 점:
넓이와 밑변 길이를 이용해 높이를 먼저 구하고, 그 높이(원점과의 거리)를 이용해 직선의 방정식을 완성하는 역순으로 문제를 풀어가야 합니다.
”
평행선과 사다리꼴 넓이
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정점을 지나는 직선의 개념과 점과 직선 사이의 거리 개념이 결합된 문제입니다.
접근법:
1. 먼저, 미지수 k를 포함한 직선이 k값에 관계없이 항상 지나는 정점 A의 좌표를 구합니다. (k에 대해 정리하여 항등식 풀이)
2. 이제 문제는 ‘점 A와 직선 2x-y+m=0 사이의 거리가 √5이다’ 라는 간단한 문제로 바뀝니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 m에 대한 절댓값 방정식을 세우고, 가능한 모든 m값의 합을 구합니다.
주의할 점:
문제의 전반부(정점 찾기)와 후반부(거리 공식 이용)를 명확히 구분하여 단계적으로 해결해야 합니다.
”
원점과 특정 점을 지나는 직선의 거리
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평행한 두 직선 사이의 거리를 이용하고, 사다리꼴의 넓이를 계산하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선 l₁, l₂는 평행합니다. 직선 l₂의 방정식을 x-2y+a=0 (a>0) 으로 설정합니다.
2. 사다리꼴 ADCB의 넓이를 두 개의 삼각형(ADC와 ACB)의 넓이의 합으로 표현합니다.
3. 각 삼각형의 넓이를 밑변과 높이를 이용해 a에 대한 식으로 나타냅니다.
4. 전체 넓이가 25라는 등식을 풀어 a값을 구합니다.
5. 구하려는 두 직선 사이의 거리는, l₁ 위의 한 점과 l₂ 사이의 거리 공식을 이용해 계산합니다.
주의할 점:
사다리꼴의 넓이를 직접 구하는 것보다, 공통 밑변을 갖는 두 삼각형의 넓이 합으로 구하는 것이 계산이 더 편리할 수 있습니다.
”
넓이가 같을 조건과 평행선
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특정 점을 지나고 기울기가 미지수인 직선과 원점 사이의 거리가 주어졌을 때, 기울기를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (1,3)을 지나고 기울기가 k인 직선의 방정식을 점-기울기 형태로 세우고, 일반형으로 정리합니다.
2. 원점 (0,0)과 1단계에서 구한 직선 사이의 거리를 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 이 거리가 √5와 같다고 등식을 세웁니다.
4. 양변을 제곱하여 k에 대한 이차방정식을 풀고, ‘양수 k’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
분모에 루트와 미지수가 함께 들어가는 방정식이므로, 양변을 제곱하여 정리하는 과정에서 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.
”
기하학적 관계와 점과 직선 거리
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넓이가 같은 삼각형의 기하학적 성질을 이용하는 문제입니다. 192, 195번 문제와 유사합니다.
접근법:
1. 두 삼각형 ABC와 ADC는 밑변 AC가 공통입니다.
2. 두 삼각형의 넓이가 같으려면 **높이가 같아야** 합니다. 즉, 점 B와 점 D에서 직선 AC까지의 거리가 같아야 합니다.
3. 이는 직선 BD가 직선 AC와 **평행**함을 의미합니다.
4. 직선 AC의 기울기와 직선 BD의 기울기가 같다고 등식을 세워, 점 D의 좌표를 구합니다.
5. 최종적으로 직선 AD의 기울기를 구합니다.
주의할 점:
점 D가 선분 OC 위를 움직인다는 조건이 있으므로, 평행 조건을 만족하는 점이 해당 범위에 있는지 확인해야 합니다.
”
정점을 지나는 직선과 원점 거리 최댓값
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기하학적 관계와 점과 직선 사이의 거리를 종합적으로 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 B의 좌표를 (a, 0)으로 설정합니다.
2. 선분 BH의 길이는 8-a 입니다.
3. 선분 BI의 길이는 점 B(a,0)에서 직선 OA까지의 거리입니다. 직선 OA의 방정식을 구하고 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 BI를 a에 대한 식으로 표현합니다.
4. BH=BI 라는 조건으로 등식을 세워 a값을 구하면 점 B의 좌표가 확정됩니다.
5. 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
문제에 주어진 BH=BI라는 조건을 식으로 정확히 옮기는 것이 핵심입니다. 각 선분의 길이가 무엇을 의미하는지(좌표의 차, 점과 직선 사이의 거리)를 파악해야 합니다.
”
주어진 직선에 평행하고 거리가 주어진 직선
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정점을 지나는 직선과 원점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. **(방법 1: 대수적 풀이)** 원점과 주어진 직선 사이의 거리를 k에 대한 식으로 표현합니다. 이 식이 최대가 되려면 분모가 최소가 되어야 합니다. 분모에 있는 k에 대한 이차식의 최솟값을 이용해 답을 구합니다.
2. **(방법 2: 기하학적 풀이)** 먼저 직선이 k값에 관계없이 항상 지나는 정점 P를 구합니다. 이 문제는 원점 O에서 정점 P를 지나는 수많은 직선까지의 거리를 묻는 것과 같습니다. 거리는 직선이 **선분 OP와 수직일 때 최대**가 되며, 그 최댓값은 바로 **선분 OP의 길이**입니다.
주의할 점:
기하학적 풀이(방법 2)가 훨씬 간단하고 직관적입니다. ‘정점을 지나는 직선과 한 점 사이의 거리의 최댓값은 두 점 사이의 거리’라는 사실을 반드시 기억해두세요.
”
정점과 원점 거리 최댓값과 그 때의 k값
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원점과 선분의 수직이등분선 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (수직이등분선 구하기) 선분 AB의 수직이등분선의 방정식을 구합니다.
– 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구합니다.
– 직선 AB의 기울기를 구하고, 그것에 수직인 기울기를 찾습니다.
– 중점 M을 지나고 수직 기울기를 갖는 직선의 방정식을 완성합니다.
2. (거리 구하기) 원점(0,0)과 1단계에서 구한 직선 사이의 거리를 **점과 직선 사이의 거리 공식**을 이용해 구합니다.
주의할 점:
수직이등분선의 방정식을 구하는 과정과 점과 직선 사이의 거리 공식을 적용하는 과정, 두 가지 기본기를 모두 정확하게 수행해야 합니다.
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점과 직선 위의 점 사이 거리 최솟값
