“
삼각형의 내심을 지나는 직선의 방정식을 찾는 문제입니다. 내심은 세 내각의 이등분선의 교점입니다.
접근법:
1. 문제에서 요구하는 직선은 점 B와 내심을 지납니다. 이는 곧 각 B의 이등분선의 방정식을 구하라는 의미입니다.
2. 각 B의 이등분선은, 두 직선 BA와 BC로부터 같은 거리에 있는 점들의 자취입니다.
3. 먼저 두 직선 BA와 BC의 방정식을 각각 구합니다.
4. 두 직선의 각의 이등분선 방정식을 구하고, 그 중 삼각형의 내부를 지나는(기울기 등을 고려) 적절한 방정식을 선택합니다.
주의할 점:
‘점 B와 내심을 지나는 직선’이 ‘각 B의 이등분선’과 같다는 사실을 파악하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.
”
두 직선에서 같은 거리에 있는 점의 자취
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정점을 지나는 직선과 각의 이등분선 개념이 혼합된 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) 주어진 직선이 k에 관계없이 지나는 정점을 찾고, 두 직선의 교점과 일치하는지 확인합니다.
2. (보기 ㄴ) 직선의 기울기를 k에 대한 식으로 표현하고, 그 기울기가 -1이 되게 하는 k값이 존재하는지 확인합니다.
3. (보기 ㄷ) k=-3일 때의 직선의 방정식을 구하고, 이 직선이 다른 두 직선(3x-y=0, x+3y-10=0)의 각의 이등분선이 맞는지 직접 확인합니다.
주의할 점:
보기 ㄷ을 확인할 때는, 두 직선의 각의 이등분선 방정식을 직접 구해서 비교해야 합니다. 여러 개념을 정확히 이해하고 적용해야 하는 종합 문제입니다.
”
삼각형의 내심을 지나는 직선
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한 직선이 다른 두 직선이 이루는 각을 이등분할 때, 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 직선(ax-y=0, x+ay-5=0)이 이루는 각의 이등분선 방정식을 구합니다.
2. ‘두 직선으로부터의 거리가 같다’는 자취의 원리를 이용하면, 두 개의 이등분선 방정식이 나옵니다.
3. 주어진 직선(3x+y-5=0)이 이 두 개의 이등분선 중 하나와 일치해야 합니다.
4. 계수 비교법을 통해 두 직선이 일치하도록 하는 a값을 찾습니다.
주의할 점:
두 개의 이등분선이 나오므로, 주어진 직선이 둘 중 어느 것과 일치할 수 있는지 두 가지 경우를 모두 확인해야 합니다.
”
정점과 각의 이등분선
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276번 문제와 동일하게 각의 이등분선이 특정 점을 지날 때의 미지수 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 개의 각의 이등분선 방정식을 구합니다. (두 직선까지의 거리가 같다는 자취의 방정식 이용)
2. 이등분선 방정식에는 미지수 a가 포함된 채로 구해집니다.
3. 이등분선이 점 (2,1)을 지난다고 했으므로, 두 개의 이등분선 방정식에 각각 (2,1)을 대입합니다.
4. 각각의 경우에 대해 a값을 구하고, 모든 a값의 합을 계산합니다.
주의할 점:
미지수가 처음부터 식에 포함되어 있어도 원리는 동일합니다. 자취의 방정식을 구하고, 그 자취가 특정 점을 지난다는 조건을 마지막에 적용하면 됩니다.
”
한 직선이 다른 두 직선의 각을 이등분할 때
“
각의 이등분선이 특정 점을 지날 때의 미지수 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 274, 275번과 동일한 방법으로 두 개의 각의 이등분선 방정식을 구합니다.
2. (경우 1) 첫 번째 이등분선이 점 (a, -1)을 지난다고 가정하고, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
3. (경우 2) 두 번째 이등분선이 점 (a, -1)을 지난다고 가정하고, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
4. 두 경우에서 나온 모든 a값의 곱을 구합니다.
주의할 점:
두 개의 이등분선이 나올 수 있다는 점을 인지하고, 두 가지 가능성을 모두 고려해야 모든 해를 찾을 수 있습니다.
”
각의 이등분선 위의 점 조건
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274번 문제와 동일하게, 두 직선이 이루는 각의 이등분선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 각의 이등분선 위의 점 P(x,y)에서 두 직선까지의 거리가 같다는 원리를 이용합니다.
2. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 등식을 세웁니다. (|2x+3y+2| / √13 = |3x-2y+2| / √13)
3. 분모가 같으므로, |2x+3y+2| = |3x-2y+2| 라는 간단한 절댓값 방정식을 얻습니다.
4. 두 가지 경우(+, -)를 모두 풀어 두 개의 직선의 방정식을 찾고, 보기에서 해당하는 것을 고릅니다.
주의할 점:
이 문제의 두 직선은 기울기의 곱이 -1이므로 서로 수직입니다. 따라서 두 각의 이등분선 또한 서로 수직이 됩니다.
”
각의 이등분선이 지나는 점
“
두 직선이 이루는 각을 이등분하는 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 각의 이등분선은, 두 직선으로부터 **같은 거리에 있는 점들의 자취**입니다.
2. 자취 위의 임의의 점을 P(x,y)로 설정합니다.
3. ‘점 P에서 첫 번째 직선까지의 거리’ = ‘점 P에서 두 번째 직선까지의 거리’ 라는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식은 절댓값을 포함하며, |A|=|B| 형태가 됩니다.
5. A=B 인 경우와 A=-B 인 경우, 두 가지를 모두 풀면 서로 수직인 두 개의 각의 이등분선 방정식이 나옵니다.
주의할 점:
두 직선이 이루는 각은 2개가 있으므로, 그 각을 이등분하는 직선도 항상 2개가 나온다는 사실을 기억해야 합니다.
”
두 수직인 직선의 각의 이등분선
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세 꼭짓점의 좌표가 미지수를 포함하여 주어지고, 삼각형의 넓이가 알려졌을 때 미지수 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 미지수가 없는 두 점 A, B를 잇는 선분 AB를 밑변으로 정하고 길이를 구합니다.
2. 직선 AB의 방정식을 구합니다.
3. 점 C에서 직선 AB까지의 거리(높이)를 미지수 a를 포함한 식으로 표현합니다.
4. 넓이 = 1/2 * (밑변 AB) * (높이 h) = 18 이라는 등식을 세웁니다.
5. a에 대한 절댓값 방정식을 풀어 가능한 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
신발끈 공식을 바로 사용하여 a에 대한 방정식을 세울 수도 있습니다. 어떤 방법이든 절댓값을 포함한 방정식이 나오게 됩니다.
”
두 직선의 각의 이등분선
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271번 문제와 동일하게, 세 직선으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선의 방정식을 두 개씩 연립하여 세 교점(삼각형의 꼭짓점)의 좌표를 모두 구합니다.
2. 한 변을 밑변으로 정하고 길이를 구합니다.
3. 그 변을 포함하는 직선과 나머지 한 꼭짓점 사이의 거리를 구해 높이를 찾습니다.
4. 넓이 공식을 이용해 답을 계산합니다. (또는 신발끈 공식 활용)
주의할 점:
연립방정식을 세 번 풀어야 하므로 계산 과정이 깁니다. 각 교점의 좌표를 정확히 구하는 것이 중요합니다.
”
넓이가 주어진 삼각형의 미지수
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세 직선으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (교점 찾기) 세 직선 중 두 직선씩 짝지어 연립방정식을 풀어, 삼각형의 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 모두 구합니다.
2. (넓이 구하기) 세 꼭짓점의 좌표를 알았으므로, 268번 문제와 같이 밑변과 높이를 이용하거나, 신발끈 공식을 이용해 넓이를 구합니다.
주의할 점:
세 꼭짓점 중 하나가 원점(O)이므로 계산이 비교적 간단합니다. 신발끈 공식을 사용할 때 한 점이 원점이면 공식이 매우 단순해져서 편리합니다.
”
세 직선 교점으로 삼각형 넓이 구하기
