📌 수능 연계 분석
평면좌표 단원의 삼각형의 무게중심 활용 유형은 수능·모의고사에서 최다빈출 왕중요 문항으로 분류됩니다. 단순히 무게중심의 좌표를 구하는 수준을 넘어, 거리의 제곱의 합(AP²+BP²+CP²)의 최솟값을 구하는 문제로 출제되며, 이는 좌표 설정 → 식 전개 → 완전제곱식 변환의 일련의 과정을 정확히 수행할 수 있는지를 평가합니다.
이 유형은 좌표평면 위의 점과 거리, 이차식의 완전제곱식 변환, 삼각형의 무게중심 성질이 복합적으로 연결되어 출제되므로, 개념 간 연결 능력이 핵심입니다. 특히 수능에서는 조건을 변형하여 최솟값뿐 아니라 최솟값을 만족하는 점의 좌표를 묻는 형태가 자주 등장합니다.
🎯 출제의도 및 문제풀이 핵심맥락
출제의도: 좌표평면 위 세 점이 주어졌을 때, 임의의 점 P에 대한 거리의 제곱의 합 AP²+BP²+CP²이 최소가 되는 점 P의 좌표를 구할 수 있는지를 평가합니다.
핵심맥락: 두 가지 풀이 경로가 존재합니다.
풀이 1 — 직접 전개: P(x, y)로 놓고 AP², BP², CP²를 각각 전개한 뒤 합산하면 x, y에 대한 이차식이 됩니다. 이를 완전제곱식으로 변환하면 최솟값과 그때의 x, y를 동시에 구할 수 있습니다.
풀이 2 — 무게중심 성질 활용: AP²+BP²+CP²의 값이 최소가 되는 점 P는 삼각형 ABC의 무게중심과 일치한다는 성질을 바로 적용하면, 세 꼭짓점 좌표의 평균으로 즉시 답을 구할 수 있습니다.
🔑 문제풀이 핵심 키워드
• 삼각형의 무게중심 — 세 꼭짓점 좌표의 산술평균, AP²+BP²+CP² 최솟값 조건의 핵심
• 두 점 사이의 거리 공식 — 좌표 설정 후 거리를 식으로 표현하는 기본 도구
• 완전제곱식 변환 — 이차식을 (x−a)²+(y−b)² 꼴로 정리하여 최솟값 도출
• 내심 · 외심과의 구별 — 무게중심은 거리 제곱합 최소, 외심은 거리 동일, 내심은 각의 이등분 → 혼동 주의
🎬 해설 동영상
📝 해설 이미지
📘 개념정리 포스트 추천
- C-01 | 평면좌표 개념정리 ① — 좌표평면 기본, 두 점 사이의 거리
- C-04 | 평면좌표 개념정리 ④ — 삼각형의 무게중심 좌표와 성질
✏️ 연산연습 포스트 추천
- P-02 | 평면좌표 연산연습 ② — 두 점 사이의 거리 계산 연습
- P-03 | 평면좌표 연산연습 ③ — 내분·외분·무게중심 좌표 계산 연습