좌표평면 위의 선분의 내분점

📌 이 유형, 수능 고득점에서 왜 중요한가

「평면좌표」에서 내분점·중점 공식은 좌표를 ‘비(比)로 다루는 핵심 도구’입니다. 이 유형은 단순 대입을 넘어 중점·내분점이 한 선분 위에서 서로 어떤 위치 관계인지를 꿰뚫어 보는 감각을 평가하는데, 여기서 익힌 시각이 이후 좌표평면의 무게중심 → 도형의 방정식(평행사변형·마름모) → 직선·원의 방정식 → 점의 자취로 그대로 확장됩니다.

특히 수능·모의고사에서는 이 문제처럼 “중점과 m:n 내분점이 동시에 주어지는” 결합형이 자주 나옵니다. 이때 두 조건을 각각 식으로 풀어 점 A, B를 모두 구해도 되지만, 중점과 내분점이 ‘같은 선분의 등분점’이라는 위치 관계를 먼저 보면 계산이 절반으로 줄어듭니다. 이 ‘위치를 먼저 보는 눈’이 통합형 4점 문항에서 시간을 버는 결정적 갈림길입니다.

🎯 출제의도와 풀이 핵심 맥락

이 문제의 출제의도는 중점과 내분점이라는 두 조건을 ‘위치 관계’로 연결해 선분의 길이를 구할 수 있는가입니다. 풀이의 결정적 분기점은 다음과 같습니다.

① 위치 번역 — 선분 AB를 4등분해 보면, 중점은 ‘2번째 등분점’, 3:1 내분점은 ‘3번째 등분점’입니다. 즉 주어진 두 점은 AB의 사등분점 중 이웃한 두 점이고, 그 사이 간격은 정확히 AB의 1/4입니다.

② 핵심 관찰 — 3:1 내분점은 중점과 B 사이 선분의 중점이기도 합니다. 따라서 두 점 사이 거리를 구해 4배하면 곧바로 AB가 나옵니다.

③ 마무리 — 두 점 사이의 거리 공식으로 간격을 구하고, (4×간격)²를 계산하면 AB²가 됩니다. 좌표 A, B를 직접 구하지 않아도 답에 도달합니다.

💡 실수 포인트 — “중점도 결국 1:1 내분점”이라는 사실을 놓치면 위치 관계를 못 보고 연립방정식으로 돌아가게 됩니다. 또한 ‘3:1 내분점’의 비 방향(어느 점에서 어느 점 쪽으로 3:1인지)을 헷갈리면 등분점 위치가 틀어집니다. 두 조건을 한 선분 위에 함께 그려 위치부터 확정하는 습관이 핵심입니다.