수학 명제: 두 실수 또는 두 식의 대소 판단
두 실수 또는 두 식 \( A, B \)의 대소를 비교할 때는 여러 가지 방법을 사용할 수 있어요.
두 실수의 대소 판단 방법
1. 차 \( A – B \)를 조사
- \( A – B > 0 \Longleftrightarrow A > B \)
- \( A – B = 0 \Longleftrightarrow A = B \)
- \( A – B < 0 \Longleftrightarrow A < B \)
2. 제곱의 차 \( A^2 – B^2 \)를 조사
- \( A^2 – B^2 > 0 \Longleftrightarrow A > B \)
- \( A^2 – B^2 = 0 \Longleftrightarrow A = B \)
- \( A^2 – B^2 < 0 \Longleftrightarrow A < B \)
3. 비율 \( \frac{A}{B} \)를 조사
- \( \frac{A}{B} > 1 \Longleftrightarrow A > B \)
- \( \frac{A}{B} = 1 \Longleftrightarrow A = B \)
- \( \frac{A}{B} < 1 \Longleftrightarrow A < B \)
개념 살펴보기
두 실수 또는 두 식의 대소를 비교할 때 주로 (1)의 차를 이용하는 방법을 가장 많이 사용합니다. 근호나 절댓값 기호를 포함한 경우에는 (2)를 사용하고, 두 수의 비가 간단하게 정리되는 경우에는 (3)을 많이 이용합니다.
개념 확인 문제
\( a > b > 0 \)일 때, 두 식 \( \frac{a}{b} \)와 \( \frac{2a+1}{2b+1} \)의 대소를 비교해 보세요.
문제 풀이
- \( a > b > 0 \)에서 \( a – b > 0 \), \( b(2b+1) > 0 \)이므로
- 결과적으로 \( \frac{a}{b} > \frac{2a+1}{2b+1} \)이 성립합니다.
결론
두 실수 또는 두 식의 대소 판단 방법을 활용하면 수학적 비교 문제를 논리적으로 해결할 수 있습니다.